Vektoriavaruudet

Vektoriavaruus, jota sanotaan myös lineaariavaruudeksi, on joukko alkioita, joiden täytyy toteuttaa tiettyjä ehtoja, minkä ansiosta tämän joukon alkiot, joita sanotaan vektoreiksi, käyttäytyvät ”kauniisti”.

Esimerkki vektoriavaruudesta

Ennen kuin vektoriavaruus määritellään, katsotaan esimerkki vektoriavaruudesta, jonka tunnet jo lukiosta, mutta et vain tiedä, että se on vektoriavaruus. Ne ovat tavallisia vektoreita tasossa.

Vektorilla tasossa tarkoitetaan järjestettyä paria (a, b), missä a, b ∈ ℝ. Ne ovat avaruuden ℝ² mielivaltaisia koordinaatteja (sillä tarkoitetaan karteesista tuloa ℝ × ℝ). Tällainen vektori voidaan esittää nuolena pisteestä (0, 0) pisteeseen (a, b). Vektori (2, 3) näyttäisi tältä:

Tiedetään, että vektoreita voidaan laskea yhteen säännöllä (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Vektorien summa (2, 3) + (4, 1) olisi yhtä suuri kuin vektori (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4). Piirrettynä se näyttäisi tältä:

Samalla voidaan laskea vektorin k-kertainen, missä k on reaaliluku. k-kertainen kirjoitetaan k · (a, b). Tulos on uusi vektori, joka määritellään näin: k · (a, b) = (k · a, k · b). Kuvassa se näkyy niin, että vektori ”venyy”, ”lyhenee” tai vaihtaa suuntaa. Jos vektori on u = (2, 3), vektorit 2 · u, $\frac{1}{2}u$ ja −1 · u näyttävät tältä:

Se, että kaikkien vektorien ℝ² joukko näin määriteltyine laskutoimituksineen muodostaa vektoriavaruuden, todistetaan myöhemmin. Ensin määritellään vektoriavaruus ja katsotaan sen ominaisuuksia tässä avaruudessa ℝ².

Vektoriavaruuden määritelmä

Vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) on epätyhjä joukko V, jonka alkioita sanotaan vektoreiksi. Lisäksi joukossa täytyy olla kaksi laskutoimitusta: vektorien yhteenlasku, eli kuvaus V × V ⟶ V, ja vektorin kertominen reaaliluvulla, eli kuvaus ℝ × V ⟶ V. (Yleisemmin reaalilukujen joukon tilalla voidaan käyttää mitä tahansa kuntaa, mutta siitä myöhemmissä artikkeleissa.) Vektorien yhteenlaskua merkitään merkillä + ja kertolaskua merkillä ·. Näiden kahden laskutoimituksen täytyy toteuttaa seuraavat ehdot. Siis kaikille x, y, z ∈ V ja kaikille a, b ∈ ℝ täytyy päteä (huomaa, että vektorit x, y, z on kirjoitettu lihavoituina, kun taas luvut a, b lihavoimattomina):

1. x + y = y + x: vektorien yhteenlasku on vaihdannainen. Jos palataan esimerkkiin avaruuden ℝ² vektoreista, on yhdentekevää, lasketaanko vektorit yhteen näin (2, 3) + (4, 1) vai toisin päin: (4, 1) + (2, 3) .

• (x + y) + z = x + (y + z): vektorien yhteenlasku on liitännäinen. Tässäkin voidaan sijoittaa joitakin avaruuden ℝ² vektoreita, ja nähdään, että tulos täsmää.
• a · (b · x) = (a · b) · x: kertolaskun liitännäisyys. Esimerkin vektoreille pätee, että 4 · (5 · (6, 7)) on sama kuin (4 · 5) · (6, 7). Molemmat laskut johtavat vektoriin (20 · 6, 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: osittelulaki joukon V vektoreille. Taas nähdään, että 2 · ((2, 3) + (4, 5)) on sama kuin 2 · (2, 3) + 2 · (4, 5). Molemmat lausekkeet johtavat vektoriin (2 · 6, 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: lukujen yhteenlaskun osittelulaki.
• 1 · x = x: kun mikä tahansa vektori kerrotaan reaaliluvulla 1, vektorin arvo ei muutu. Tässä tapauksessa pätee 1 · (5, 8) = (5, 8).
• On olemassa alkio 0 ∈ V, jolle 0 · x = 0. Lihavoitu nolla, eli 0, on ns. nollavektori, kun taas lihavoimaton nolla 0 on yksinkertaisesti luku nolla. Tämä kohta sanoo, että joukossa V täytyy olla vektori, joka saadaan kertomalla mikä tahansa vektori x ∈ V luvulla nolla. Avaruudessa ℝ² se on vektori (0, 0), koska kaikille vektoreille (a, b) ∈ ℝ² pätee 0 · (a, b) = (0, 0).

Nämä ovat kaikki ominaisuudet, jotka vektoriavaruuden (lineaariavaruuden) V täytyy toteuttaa. Kun vektori kerrotaan jollakin reaaliluvulla a, tätä lukua a sanotaan skalaariksi. Puhutaan siis usein skalaarilla kertomisesta ja tarkoitetaan lauseketta a · x, missä a on reaaliluku ja x on vektori.

Plusmerkin kaksoismerkitys

Huomaa, että joissakin lausekkeissa plusmerkillä + voi olla kaksi merkitystä. Esimerkiksi kohdassa lukujen yhteenlaskun osittelulaki on yhtälö (a + b) · x = a · x + b · x. Yhtälön vasemmalla puolella merkki + laskee yhteen reaalilukuja, koska sekä a että b ovat reaalilukuja, kun taas oikealla puolella se laskee yhteen vektoreita, koska tulo a · x on vektori.

Tällainen automaattinen tunnistaminen on matematiikassa yleistä – asiayhteydestä on aina selvää, mistä yhteenlaskusta on kyse. Jos lauseke on x + y ja x, y ovat vektoreita, käytetään vektorien summaa. Jos x, y olisivat lukuja, käytettäisiin tavallista summaa. Jos ne olisivat matriiseja, käytettäisiin matriisien summaa ja niin edelleen.

Vektorien yhteenlaskulle voitaisiin käyttää toista merkkiä, esimerkiksi ⊕. Silloin lukujen yhteenlaskun osittelulaki voitaisiin kirjoittaa näin: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Tavallinen + tarkoittaa tässä reaalilukujen a, b yhteenlaskua, ja merkki ⊕ tarkoittaa vektorien yhteenlaskua. Yleensä kuitenkin molemmille yhteenlaskuille käytetään samaa merkkiä + ja sen merkitys tunnistetaan asiayhteydestä. Sama pätee merkkiin ·.

Vektoriavaruus R²

Ensimmäisessä osassa määriteltiin vektoriavaruus V = ℝ², ja nyt todistetaan, että kyseessä todella on vektoriavaruus. Ensin täytyy tarkistaa, onko yhteen- ja kertolasku määritelty oikein. Yhteenlaskun täytyy laskea yhteen kaksi vektoria, ja tuloksen täytyy olla uusi vektori. Se toteutuu, koska (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Kahden avaruuden ℝ² vektorin summa on uusi avaruuden ℝ² vektori.

Jos vektorien yhteenlasku määriteltäisiin esimerkiksi niiden pituuksien summana, se ei olisi kelvollinen vektoriavaruuden yhteenlasku. Vektorin (a, b) pituus laskettaisiin lausekkeella $\sqrt{a^2+b^2}$. Summan (3, 4) + (5, 12) tulokseksi tulisi luku $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, joka ei ole avaruuden ℝ² vektori.

Seuraavaksi täytyy tarkistaa, onko kertolasku määritelty oikein. Kertolaskussa reaaliluku kerrotaan avaruuden ℝ² vektorilla, ja tuloksen täytyy olla uusi avaruuden ℝ² vektori. Sekin toteutuu, koska skalaarilla kertominen on määritelty kaavalla k · (a, b) = (k · a, k · b).

Sitten tarkistetaan järjestyksessä kaikki 7 ominaisuutta, jotka vektoriavaruuden täytyy toteuttaa. Yksittäisten vektorien x, y paikalle sijoitetaan esimerkin vektoreita (a, b), (c, d), … sen mukaan, mikä milloinkin sopii, älä säikähdä sitä.

1. x + y = y + x, vektorien yhteenlaskun vaihdannaisuus. Onko edellä määritelty vektorien yhteenlasku vaihdannainen? On, koska se on määritelty kaavalla (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Kun vasemmalla puolella vektorit vaihdetaan keskenään, saadaan: (c, d) + (a, b) = (c + a, d + b). Koska c + a on kahden reaaliluvun summa ja reaalilukujen yhteenlasku on vaihdannainen laskutoimitus, pätee c + a = a + c, ja sama toiselle parille: d + b = b + d. Siis (a + c, b + d) = (c + a, d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Tämä on sulkujen kanssa leikkimistä. Periaatteessa kyse on yksinkertaisista muunnoksista, mutta ne näyttävät sekavilta, koska sulkuja on yksinkertaisesti niin paljon. Kokeillaan laskea tämä vektorien summa:

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)$$

Koska a, c, e ovat reaalilukuja ja yhteenlasku on reaaliluvuilla liitännäinen, pätee (a + c) + e = a + c + e. Sama pätee toiselle koordinaatille. Voidaan siis kirjoittaa, että

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)$$

Kokeillaan nyt laskea samat vektorit yhteen eri tavalla sulutettuna:

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+(c+e),b+(d+f))$$

Taas pätee a + (c + e) = a + c + e, joten voidaan kirjoittaa, että

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a+c+e,b+d+f)$$

Nähdään siis, että kolmen vektorin summa sulutetaan miten tahansa, päädytään aina samaan vektoriin (a + c + e, b + d + f). Yhteenlasku avaruudessa ℝ² on siis liitännäinen ja toteuttaa vektoriavaruuksien toisenkin ominaisuuden.

Voit kokeilla sijoittaa muuttujien a, …, f paikalle konkreettisia lukuja, niin näet, että tulos täsmää.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Kirjoitetaan taas ensin auki yhtälön vasen puoli ja sijoitetaan x:n paikalle vektori (c, d):

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=a\cdot (b\cdot c,b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c),a\cdot (b\cdot d))$$

Koska reaalilukujen kertolasku on liitännäinen, saadaan yhtälö a · (b · c) = a · b · c. Voidaan siis kirjoittaa:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Kirjoitetaan nyt auki yhtälön oikea puoli, eli puoli (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=((a\cdot b)\cdot c,(a\cdot b)\cdot d)$$

Taas pätee (a · b) · c = a · b · c, joten:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Nähdään, että yhtälön molemmat puolet johtavat samaan tulosvektoriin (a · b · c, a · b · d), joten yhtälö pätee.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Menettely on sama, kirjoitetaan auki yhtälön vasen puoli:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=a\cdot \left((c+e,d+f)\right)=(a\cdot (c+e),a\cdot (d+f))$$

Koska a, c, e ovat reaalilukuja, joille osittelulaki pätee, saadaan yhtälö: a · (c + e) = ac + ae. Voidaan siis kirjoittaa:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=(ac+ae,ad+af)$$

Yhtälön oikea puoli:

$$a\cdot (c,d)+a\cdot (e,f)=(ac,ad)+(ae,af)=(ac+ae,ad+af)$$

Nähdään, että yhtälön vasen ja oikea puoli ovat muunnosten jälkeen yhtä suuret.

• (a + b) · x = a · x + b · x: Edetään hyvin samaan tapaan kuin edellisessä vaiheessa. Yhtälön vasemman puolen muunnos:

$$(a+b)\cdot (c,d)=((a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d)=(ac+bc,ad+bd)$$

Oikea puoli:

$$a\cdot (c,d)+b\cdot (c,d)=(ac,ad)+(bc,bd)=(ac+bc,ad+bd)$$

• 1 · x = x: En kyllä usko, että kukaan on jaksanut lukea tähän asti, mutta olkoon, jatketaan :-). Tämä kohta on ainakin helppo. Täytyy tarkistaa, että 1 · (a, b) = (a, b). Se varmasti pätee, koska

$$1\cdot (a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b)$$

• On olemassa alkio 0 ∈ ℝ², jolle 0 · x = 0: se on vektori (0, 0). Sille pätee 0 · (a, b) = (0, 0), koska

$$0\cdot (a,b)=(0\cdot a,0\cdot b)=(0,0)$$

Vektoriavaruuksien koko

Mikä on pienin mahdollinen vektoriavaruus? Määritelmän mukaan vektoriavaruus on epätyhjä joukko V, joten pienin mahdollinen koko, joka tulee kyseeseen, on joukko, jossa on yksi vektori. Määritelmän seitsemännestä kohdasta tiedetään, että avaruuden täytyy sisältää nollavektori. Joukko V = {0} on siis ehdokas pienimmäksi vektoriavaruudeksi.

Yhteenlasku voidaan määritellä näin: 0 + 0 = 0, ja kertolasku näin: a · 0 = 0. Mitä tahansa tehdäänkin, tuloksena on aina nollavektori. Tällä yhden alkion joukolla on selvästi kaikki seitsemän vaadittua ominaisuutta.

Nyt tiedetään, että on olemassa yhden alkion vektoriavaruus. Onko olemassa vektoriavaruus, jossa on kaksi alkiota? Voidaanko joukossa V = {x, 0} määritellä yhteen- ja kertolasku niin, että siitä tulee vektoriavaruus?

Vastaus on, että ei, kahden alkion vektoriavaruutta ei ole. Eikä ole myöskään mitään muuta äärellistä vektoriavaruutta kuin mainittu yhden alkion avaruus. Kaikki muut vektoriavaruudet ovat jo äärettömiä. Jos kuitenkin, kuten vihjattiin, reaalilukujen joukon tilalla käytettäisiin jotakin toista, äärellistä kuntaa, voitaisiin saada myös muita äärellisiä vektoriavaruuksia.

Yhteenveto

Vektoriavaruuden määritelmä ei ole aivan yksinkertainen, vektorien ja laskutoimitusten täytyy toteuttaa yhteensä 7 ehtoa, mikä ei ole vähän. Toisaalta nämä ehdot ovat melko triviaaleja ja ymmärrettäviä – niiden tarkoitus on, että vektoreilla on hyvä laskea. Määriteltyjen ehtojen ansiosta vektoriavaruuden vektoreita voidaan laskea yhteen tarvitsematta tarkistaa, onko yhteenlaskun tulos jonkin toisen vektoriavaruuden vektori. Samoin vektori voidaan kertoa reaaliluvulla, ja tulos on aina saman avaruuden vektori. Se, että vektorit ja niiden laskutoimitukset noudattavat vaihdannaisuuden, liitännäisyyden ja osittelulain sääntöjä, on myös melko luonnollista.

Vektoriavaruus voitaisiin määritellä myös yleisemmin. Reaalilukujen joukon sijaan voidaan ottaa mikä tahansa kunta. Siitä kuitenkin myöhemmissä artikkeleissa.