Matriisi

Matriisi kunnan P yli on kuvaus {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P. Matriisia merkitään yleensä isoilla painokirjaimilla: A = (…). Ja nyt selkokielellä.

Peruskäsitteet

Matriisi on yksinkertaisesti jonkinlainen taulukko, jossa on n saraketta ja m riviä, joskin rivien ja sarakkeiden merkintätapa ei aina ole sama, siitä kannattaa olla tarkkana. Taulukon jokaisessa solussa on sitten jokin luku tai muu lauseke. Matriisin ei tarvitse olla pelkästään numeerinen, vaikka alussa törmäät luultavasti lähinnä numeerisiin matriiseihin. Miltä matriisi siis voi näyttää:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 51\end{array}\right)$$

Tässä matriisissa on kaksi riviä ja kolme saraketta. Matriisin alkiot merkitään indeksien avulla ja ison kirjaimen sijasta käytetään pientä kirjainta: a₁₁ = 0 tai a₂₃ = 51. Ensimmäinen indeksi kertoo rivin ja toinen sarakkeen.

Matriisien erikoistyypit

Matriiseilla voi olla erilaisia ominaisuuksia, ja joillakin erikoismatriiseilla on jopa omat nimensä.

Neliömatriisi on matriisi, jossa on yhtä monta riviä kuin saraketta. Jos matriisi ei ole neliömatriisi, se on suorakulmainen matriisi. Esimerkki neliömatriisista:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 23\\ 47& 154& 2\end{array}\right)$$

Nollamatriisi on matriisi, jonka kaikilla paikoilla on nolla. a_ij = 0.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Yksikkömatriisi on neliömatriisi, jonka päädiagonaalilla on ykkösiä ja kaikkialla muualla nollia. Päädiagonaali on ikään kuin ”lävistäjä” vasemmalta oikealle. Se koostuu siis luvuista, jotka ovat koordinaateissa, joissa i = j.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

Porrasmatriisi on matriisi, jonka nollarivit ovat lopussa (tai jossa ei ole yhtään nollariviä) ja jonka jokaisessa nollasta poikkeavassa rivissä on alussa enemmän nollia kuin edellisessä rivissä. Nämä ovat kaikki porrasmatriiseja:

$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& \pi \\ 0& 0& 1\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),A_3=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 8\\ 0& 0& 0& 5& 1\\ 0& 0& 0& 0& 5\end{array}\right)$$

Matriisin A transponoitu matriisi on matriisi A^T, jolle pätee $a_{ij}=a_{ji}^T$, eli alkio, joka oli i:nnessä rivissä ja j:nnessä sarakkeessa, on transponoidussa matriisissa j:nnessä rivissä ja i:nnessä sarakkeessa. Matriisin rivit vaihdetaan siis sarakkeiksi.

$$\begin{array}{rcl}{\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 23\\ 47& 154& 2\end{array}\right)}^T& =& \left(\begin{array}{ccc}0& 8& 47\\ 1& 5& 154\\ 5& 23& 2\end{array}\right)\\ {\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 5\\ 6& 7& 8\end{array}\right)}^T& =& \left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 4& 7\\ 5& 8\end{array}\right)\end{array}$$

Symmetrinen matriisi on neliömatriisi A, joka toteuttaa yhtälön A = A^T. Diagonaalin suhteen symmetriset alkiot ovat samat. Voidaan siis kirjoittaa a_ij = a_ji.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}9& 3& 4\\ 3& 7& 0\\ 4& 0& 2\end{array}\right)$$

Antisymmetrinen matriisi on lähes sama kuin symmetrinen matriisi, mutta toisella puolella olevilla alkioilla on vastakkainen etumerkki: A = −A^T. Siksi päädiagonaalin alkioiden täytyy olla nollia, sillä a = −a = 0.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -3& -4\\ 3& 0& 5\\ 4& -5& 0\end{array}\right)$$

Diagonaalimatriisi on matriisi, jossa on nollia kaikkialla paitsi päädiagonaalilla. Tarkemmin sanottuna kaikkialla muualla täytyy olla nollia, mitä päädiagonaalilla on, ei ole määrätty.

$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}9& 0& 0\\ 0& 7& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Matriisien peruslaskutoimitukset

Matriiseja voidaan laskea yhteen, niitä voidaan kertoa jollakin luvulla ja matriiseja voidaan kertoa myös keskenään.

Matriisien yhteenlasku on melko intuitiivista. Jos matriisit ovat samaa tyyppiä (= yhtä monta saraketta ja riviä), tulosmatriisin samoilla paikoilla on edellisten matriisien vastaavilla paikoilla olevien lukujen summat. Eli jos lasketaan yhteen matriisit A + B = C, niin pätee a_ij + b_ij = c_ij.

$$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 23\\ 47& 154& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 3\\ 10& 20& 30\\ 7& -54& -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 5& 8\\ 18& 25& 53\\ 54& 100& -10\end{array}\right)$$

Matriisien yhteenlasku on selvästi vaihdannainen ja liitännäinen. A + B = B + A ja A + (B + C) = (A + B) + C.

Matriisin kertominen luvulla on myös intuitiivista. Otetaan luku ja kerrotaan sillä jokainen matriisin alkio, ei sen enempää. k · A = k · a_ij.

$$5\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 23\\ 47& 154& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 5& 25\\ 40& 25& 115\\ 235& 770& 10\end{array}\right)$$

Matriisien kertolasku

Matriisien kertolasku on jo hieman hankalampi asia, koska se ei ole intuitiivista niin kuin voisi odottaa. Ei riitä, että kerrotaan vastaavat alkiot keskenään. Ensinnäkin matriisien täytyy täyttää ehto, että ensimmäisen matriisin sarakkeiden määrän täytyy olla sama kuin toisen matriisin rivien määrän. Muuten ei ole rajoituksia. Nyt voidaan määritellä tulo (n on ensimmäisen matriisin sarakkeiden määrä):

$$(A\cdot B{)}_{ij}=\sum _{p=1}^n{a}_{ip}\cdot b_{pj}$$

Siinäpä sitä on, vai mitä? Yritän nyt selittää tämän vähemmän terävillekin :-). Otetaan ensimmäisen matriisin ensimmäinen rivi ja toisen matriisin ensimmäinen sarake. Kerrotaan nyt ensimmäinen alkio ensimmäisellä alkiolla ja lasketaan siihen toisen alkion ja toisen alkion tulo ja niin edelleen. Näin saadaan uuden matriisin C alkio c₁₁. Paras on esimerkki. Kerrotaan nämä kaksi matriisia:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$$

Valitaan nyt ensimmäisen matriisin ensimmäinen rivi ja toisen matriisin ensimmäinen sarake:

$$A=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{1}}& \boxed{\text{2}}\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{5}}& 6\\ \boxed{\text{7}}& 8\end{array}\right)$$

Merkinnän selkeyden vuoksi uusi matriisi nimetään C:ksi. Jotta saadaan tämän matriisin ensimmäinen alkio, täytyy laskea tämä: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Huomaa, että indeksissä ensimmäisenä on rivi ja sitten sarake. Sijoittamalla saadaan: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Ensimmäisen alkion arvo on 19:

$$C=\left(\begin{array}{cc}19& ?\\ ?& ?\end{array}\right)$$

Seuraava alkio, c₁₂, saadaan samalla tavalla, otetaan vain ensimmäinen rivi ja toinen sarake. Tällä pitkällä laskulla saadaan aina se alkio, joka on näiden yhteinen. Ensimmäisellä rivillä ja ensimmäisellä sarakkeella on yhteinen alkio koordinaateissa c₁₁, ensimmäisellä rivillä ja toisella sarakkeella taas c₁₂. Se näkyy hyvin seuraavasta kuvasta:

Nyt enää kerrotaan nopeasti loput matriisista:

$$\begin{array}{rcl}{c}_{12}& =& a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}=1\cdot 6+2\cdot 8=22.\\ c_{21}& =& a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}=3\cdot 5+4\cdot 7=43.\\ c_{22}& =& a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}=3\cdot 6+4\cdot 8=50.\end{array}$$

Lopuksi nämä luvut kirjoitetaan matriisiin:

$$C=\left(\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right)$$

Tuloksen oikeellisuuden voi tarkistaa vaikkapa Excelissä tai OpenOffice Calcissa, joissa on matriisien käsittelyyn tarkoitettuja funktioita.

Sitten muutama yleinen tieto matriisien kertolaskusta. Ensinnäkin matriisien kertolasku ei ole vaihdannaista. Yleisesti ei päde A · B = B · A, vaikka tällainen tapaus tietysti voi sattua. Matriisien kertolasku on kuitenkin liitännäistä. Se on lisäksi yhteenlaskun suhteen jopa osittelulain mukaista: A (B + C) = AB + AC. Jos kerrotaan kaksi matriisia a_ix · b_xn, tulosmatriisi on tyyppiä i × n (siinä on yhtä monta riviä kuin ensimmäisessä matriisissa ja yhtä monta saraketta kuin toisessa matriisissa).

Esimerkkejä

Annettuna on nämä kolme matriisia:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 8\\ 10& 12& 4\\ 4& 5& 9\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}8& 9\\ -5& 4\\ 10& -1\end{array}\right).$$

Laske matriisien tulo A · B.

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}4& 2& 8\\ 10& 12& 4\\ 4& 5& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}36& 41& 43\\ 90& 98& 106\\ 144& 155& 169\end{array}\right)$$

Laske matriisien tulo B · A.

Huomaa, että matriisien kertolasku ei ole vaihdannaista, joten ei varmasti voida sanoa, että tulos olisi sama kuin edellisessä tapauksessa. Kaikki täytyy yksinkertaisesti laskea uudestaan:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 8\\ 10& 12& 4\\ 4& 5& 9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}68& 82& 96\\ 86& 112& 138\\ 87& 105& 123\end{array}\right)$$

Laske matriisien tulot A · C ja C · B.

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}8& 9\\ -5& 4\\ 10& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}28& 14\\ 67& 50\\ 106& 86\end{array}\right)$$

Toista laskua ei voida suorittaa, koska ensimmäisen matriisin sarakkeiden määrä on eri kuin toisen matriisin rivien määrä.

Matriisin alkeisoperaatiot

Jotta matriiseilla voitaisiin työskennellä tehokkaasti, täytyy määritellä joitakin alkeisoperaatioita. Ensinnäkin matriisin rivi/sarake voidaan kertoa jollakin nollasta eroavalla luvulla. Kertominen vaikuttaa samoin kuin matriisin k-kertainen, mutta vain kyseisessä rivissä/sarakkeessa.

Toinen operaatio on j:nnen rivin k-kertaisen lisääminen i:nteen riviin. Sama sarakkeille. Kuulostaa hieman pelottavalta, mutta on itse asiassa yksinkertaista. Havainnollistetaan se tapauksella k = 1. Annettuna on tämä matriisi:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

Lisätään nyt ensimmäiseen riviin toinen rivi. Otetaan siis toinen rivi ja lisätään vastaavilla paikoilla olevat luvut ensimmäisen rivin lukuihin. Toisen rivin luvuille ei tapahdu mitään, vain ensimmäinen rivi muuttuu:

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 9\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

Nyt voidaan jatkaa muunnoksia. Yritetään lisätä ensimmäisen rivin kaksinkertainen kolmanteen riviin. Otetaan tästä uudesta matriisista ensimmäinen rivi, kerrotaan se kahdella, jolloin saadaan rivi (10, 14, 18), ja nämä luvut lisätään kolmanteen riviin. Taas – ensimmäinen rivi ei muutu, muuttuu vain kolmas rivi:

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 9\\ 4& 5& 6\\ 17& 22& 27\end{array}\right)$$

Lisätään nyt kolmanteen riviin vielä ensimmäisen ja toisen rivin summa. Siinä ei ole periaatteessa mitään uutta, sillä jos kolmanteen riviin lisätään ensin toinen rivi ja sitten ensimmäinen rivi, täytyy päätyä samaan tulokseen. Ensimmäisen ja toisen rivin summa on: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15). Tämän rivin ja kolmannen rivin summa on sitten: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 9\\ 4& 5& 6\\ 26& 34& 42\end{array}\right)$$

Ja vielä yksi sarakeoperaatio (niitä ei yleensä käytetä yhtä usein, koska ne eivät ole yhtä selkeitä). Lisätään ensimmäinen sarake toiseen sarakkeeseen:

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 12& 9\\ 4& 9& 6\\ 26& 60& 42\end{array}\right)$$

Ja aivan viimeiseksi kerrotaan toinen rivi kahdella:

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 12& 9\\ 8& 18& 12\\ 26& 60& 42\end{array}\right)$$

Lineaarinen riippuvuus

Selitetään vielä, mitä ovat riippuvat rivit/sarakkeet. Rivi on lineaarisesti riippuva, jos tämä rivi voidaan esittää matriisin muiden rivien lineaarikombinaationa. Yksinkertaisesti: jos pystyt laskemaan rivejä yhteen eri tavoin niin, että lopulta saat etsityn rivin, rivi on lineaarisesti riippuva. Esimerkki:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 6& 9& 12\end{array}\right)$$

Kun otetaan ensimmäisen rivin kaksinkertainen ja toinen rivi, saadaan kolmas rivi. Jos kolmannesta rivistä vähennetään tämä yhdistelmä, saadaan nollarivi (rivi, jossa on pelkkiä nollia). Tämä rivi on riippuva. Muunnokset tehdään siis näin (kerrotaan ensimmäinen rivi kahdella, lisätään toiseen riviin, vähennetään kolmannesta):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 6& 9& 12\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 4& 5& 6\\ 6& 9& 12\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 6& 9& 12\\ 6& 9& 12\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 6& 9& 12\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Jos on matriisi A, jossa on n riviä, ja A_i merkitsee i:ttä riviä, sanotaan, että matriisi ei sisällä lineaarisesti riippuvaa riviä, jos:

$${\alpha }_1{A}_1+{\alpha }_2{A}_2+\dots +{\alpha }_n{A}_n=\mathbf{0}$$

täsmälleen silloin, kun α₁, α₂, …, α_n = 0. Yhtälön oikealla puolella oleva nolla esittää nollariviä. Eli jos tämän yhtälön ainoa ratkaisu on nollaratkaisu. Jos löydetään toinen ratkaisu, matriisi sisältää lineaarisesti riippuvan rivin. Vastaavasti sarakkeelle. Edelliselle matriisille pätisi:

$$\begin{array}{rcl}& & 2\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 6\end{array}\right)-1\left(\begin{array}{ccc}6& 9& 12\end{array}\right)=\\ & & =\left(\begin{array}{ccc}6& 9& 12\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}6& 9& 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

Alfojen arvot ovat siis α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

Riippumattomien rivien tai sarakkeiden lukumäärä on matriisin aste.

Säännölliset ja singulaariset matriisit

Matriisia sanotaan säännölliseksi, jos sillä on maksimaalinen aste (eli jos siinä ei ole yhtään lineaarisesti riippuvaa riviä) ja jos se on neliömatriisi. Neliömatriisia sanotaan singulaariseksi, jos se ei ole säännöllinen (eli jos matriisi sisältää vähintään yhden lineaarisesti riippuvan rivin). Nämä kaksi käsitettä ovat melko tärkeitä, tai oikeastaan monet määritelmät perustuvat niihin. Moni asia on määritelty vain, jos matriisi on säännöllinen.

Aiheeseen liittyviä artikkeleita

• Matriisin aste
• Käänteismatriisi
• Matriisin determinantti