✖

Algebralliset kunnat

Seuraavan selityksen ymmärtämiseen et tarvitse mitään erityisiä matemaattisia taitoja tai tietoja. Riittää, että ymmärrät lukion matematiikan perusteet ja haluat oppia jotain uutta.

Mörkö nimeltä algebrallinen kunta

Jos jo pelkkä nimi algebrallinen kunta tuntuu pelottavalta, tiedä, ettei siinä ole oikeasti mitään pelättävää. Tällainen kunta on todellisuudessa hyvin yksinkertainen asia, kun sitä katsoo oikeasta kulmasta.

Algebrallinen kunta on mikä tahansa joukko sekä kaksi binääristä laskutoimitusta, jotka toteuttavat tietyt ehdot. Siinä kaikki. Ei yhtään enempää eikä vähempää. Kuten huomaat, tässä ei ole mitään vaarallista tai kauhistuttavaa. Kun tämä tiedetään, voidaan jo ilman pelkoa vilkaista asiaa vähän tarkemmin.

Kunnan alkioiden joukko

Merkitään valittua joukkoa kirjaimella T ja sanotaan sen alkioita kunnan alkioiksi. Usko pois, kunnan alkioiden joukko voi olla ihan mikä tahansa. Se voi olla kaikkien parillisten lukujen joukko, kaikkien sukkien joukko, joiden pariksi et löydä toista sukkaa, tai vaikka pehmoelefanttikokoelmasi. Ainoa ehto on kai se, että joukko T ei saa olla tyhjä. Silloin ei nimittäin olisi mitään, mistä nauttia.

Binäärinen laskutoimitus

Jos ei heti ole selvää, mikä se binäärinen laskutoimitus oikein on, voit kuvitella sen pieneksi myllyksi. Pudotat siihen kaksi (siitä nimen ”binäärinen”) jonkin joukon alkiota, käännät kampea kevyesti ja myllystä putoaa jokin toinen joukkosi alkio. Tällainen kiva binäärinen laskutoimitus on esimerkiksi jakolasku. Kiinnostaako, paljonko on 10 / 5? Ota binäärinen laskutoimitus jakolasku (mylly), jossa joukkosi on reaalilukujen joukko. Kaada myllyyn ensin kymmenen ja sitten viisi, käännä kampea ja, uskomatonta kyllä, ulos tipahtaa kaksi.

Nimetään nämä kaksi laskutoimitusta yhteen- ja kertolaskuksi ja merkitään niitä symboleilla ⊕ ja ⊗. Älä anna nimen hämätä. Näillä laskutoimituksilla ei tarvitse olla paljon yhteistä tavallisten yhteen- ja kertolaskujen kanssa. Se johtuu juuri siitä, että kunnan alkiot voivat olla mitä tahansa olioita. Ja pehmoelefantteihin tai sukkiin tässä määriteltyä yhteen- ja kertolaskua ei voi soveltaa.

Kunnan laskutoimitukset

Laskutoimitusten ⊕ ja ⊗ täytyy toteuttaa tietyt ehdot. Niitä ei voi määritellä aivan miten sattuu. Näiden laskutoimitusten tarkoitus on nimittäin yleistää tavallinen yhteen- ja kertolasku, jota käytetään luvuilla. Halutaan, että laskutoimitukset voidaan määritellä niin, että niitä voidaan käyttää kunnan alkioille, jotka voivat, kuten jo tiedetään, olla aivan mitä tahansa olioita, eivät siis vain lukuja. Siitä huolimatta halutaan, että laskutoimitukset ⊕ ja ⊗ säilyttävät yhteen- ja kertolaskun perusmerkityksen. Sen varmistamiseksi otetaan käyttöön kymmenen ehtoa, jotka näiden laskutoimitusten täytyy toteuttaa, jotta rakenne olisi kunta. Näitä ehtoja kutsutaan kunta-aksioomiksi. Ne ovat seuraavat:

  1. Yhteenlaskun vaihdannaisuus – Kunnan T mielivaltaisille alkioille a ja b täytyy päteä a ⊕ b = b ⊕ a.
  • Yhteenlaskun liitännäisyys – Kunnan T mielivaltaisille alkioille a, b ja c täytyy päteä (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
  • Nolla-alkion olemassaolo – Kunnassa T täytyy olla alkio, merkitään sitä 0 (huomaa, ettei sitä saa sekoittaa lukuun 0), jolla on se ominaisuus, että kunnan T jokaiselle alkiolle a pätee a ⊕ 0 = a.
  • Vasta-alkion olemassaolo – Jokaiselle kunnan T alkiolle a täytyy olla olemassa kunnan T alkio, merkitään sitä -a, jolla on se ominaisuus, että a ⊕ −a = 0.
  • Kertolaskun vaihdannaisuus – Kunnan T mielivaltaisille alkioille a ja b täytyy päteä a ⊗ b = b ⊗ a.
  • Kertolaskun liitännäisyys – Kunnan T mielivaltaisille alkioille a, b ja c täytyy päteä (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
  • Ykkösalkion olemassaolo - Kunnassa T täytyy olla alkio, merkitään sitä 1 (huomaa, ettei sitä saa sekoittaa lukuun 1), jolla on se ominaisuus, että kunnan T jokaiselle alkiolle a pätee a ⊗ 1 = a.
  • Käänteisalkion olemassaolo – Jokaiselle kunnan T alkiolle a, joka on eri kuin 0, täytyy olla olemassa kunnan T alkio, merkitään sitä a−1, jolla on se ominaisuus, että a ⊗ a−1 = 1.
  • Osittelulaki - Kunnan T mielivaltaisille alkioille a, b ja c täytyy päteä a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
  • Epätriviaalisuus – Nolla-alkio ja ykkösalkio eivät saa olla sama alkio. Siis 0 ≠ 1

Jos haluat harjoitella matemaattista formalismia, olen kirjoittanut tähän kunta-aksioomat siinä muodossa, jossa ne matemaattisessa ammattikielessä merkitään.

  1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
  • ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
  • ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
  • ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
  • ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
  • ∀a ∈ T   ∃a−1 ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a−1 = 1
  • ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
  • 0 ≠ 1

Nyt saatat ajatella, että aksioomia on hirvittävän paljon. Kaikki ne ovat kuitenkin helposti ymmärrettäviä, kun ymmärtää, mitä ne tarkoittavat. Neljä ensimmäistä kuvaa yhteenlaskun tavallisia ominaisuuksia ja seuraavat neljä kertolaskun tavallisia ominaisuuksia, jotka muistuttavat lisäksi paljon ensimmäisiä neljää. Yhdeksäs aksiooma kertoo, missä suhteessa yhteen- ja kertolasku ovat keskenään. Vain kymmenes on melko tekninen asia, joka varmistaa, ettei kunnalla voi olla outoja ominaisuuksia.

Huomaa, kuinka kauniisti vältettiin vähennys- ja jakolaskun määrittely. Nämä laskutoimitukset määritellään vasta-alkion lisäämisen ja käänteisalkiolla kertomisen avulla. Esimerkiksi 4 − 2 on siis vain lyhennys lausekkeelle 4 + (−2) ja 4 / 2 vain lyhennys lausekkeelle 4 · 2−1.

Katsaus kuntiin

Nyt algebrallisen kunnan käsite on määritelty täsmällisesti. Jos haluttaisiin ilmaista intuitiivisesti, mikä kunta oikeastaan on, voitaisiin sanoa, että se on rakenne, jonka avulla voidaan laskea yhteen, vähentää, kertoa ja jakaa mitä tahansa olioita, joille nämä laskutoimitukset pystytään määrittelemään, ja tehdä se samaan tapaan kuin laskutoimitukset tehdään alkeisaritmetiikassa.

Ensimmäinen kunta

Kun kunnat on näin kauniisti keksitty ja kuvattu, rakennetaan jokin oikea kunta. Valitaan ensin kunnan alkioiden joukko. Toistaiseksi ei kokeilla liikoja pehmoelefanteilla tai sukilla, vaan valitaan kunnan alkioiksi luonnolliset luvut. Jotta kaikki olisi todella yksinkertaista, otetaan vain luvut 0, 1, 2, 3, 4. Joukko T näyttää siis tältä:

T={0,1,2,3,4}

Nyt enää pitää määritellä jotenkin sopivasti laskutoimitukset ⊕ ja ⊗. Tässä turvaudutaan aritmetiikasta jo tuttuihin yhteen- ja kertolaskuihin. Niitä muokataan kuitenkin hieman, jotta ne toimivat tässä kunnassa.

  • Laskutoimitus ⊕ Kahden alkion summa a ⊕ b saadaan laskemalla summan a + b jakojäännös viidellä jaettaessa. Yhteenlaskut tässä kunnassa näyttävät siis tältä: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 jne.
  • Laskutoimitus ⊗ Kahden alkion tulo a ⊗ b saadaan laskemalla tulon ab jakojäännös viidellä jaettaessa. Kertolaskut tässä kunnassa näyttävät siis tältä: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    jne.

Siinä se. Nyt on valmiina täysipainoinen kunta. Vielä pitäisi tarkistaa kaikkien aksioomien voimassaolo, jotta varmasti tiedetään, että rakennettiin oikeasti kunta eikä jokin hirvitys.

  • Yhteen- ja kertolaskun vaihdannaisuuden ja liitännäisyyden sekä osittelulain pystyt varmasti tarkistamaan itse.
  • Siitä, miten yhteen- ja kertolasku määriteltiin, seuraa myös, että on olemassa nolla-alkio (tässä tapauksessa se sattuu olemaan juuri luku 0) ja ykkösalkio (tässä tapauksessa 1), jotka ovat keskenään eri alkiot.
  • Nyt enää pitää tarkistaa vasta-alkion ja käänteisalkion olemassaolo. Kaikki varmasti näkevät, että jokaiselle joukon {0, 1, 2, 3, 4} luvulle on olemassa jokin saman joukon luku niin, että niiden summa on nolla tai viisi (siis tässä kunnassa 0).
  • Samoin pätee kertolaskulle: jokaiselle joukon nollasta eroavalle luvulle on olemassa luku, jonka kanssa tulon jakojäännös viidellä jaettaessa on 1 (siis tässä kunnassa 1). Esimerkiksi luvun 4 käänteisalkio on 4, koska 4 · 4 = 16 ja viidellä jaettaessa jäännös on 1. Yritä löytää muut käänteisalkiot!

Esimerkkejä muista kunnista

Hetki sitten rakennettiin kunta, jossa on viisi alkiota. Osoittautuu, että samalla tavalla voidaan rakentaa muitakin kuntia, joissa alkioiden lukumäärä on alkuluku. Tällaisia kuntia kutsutaan jäännösluokkakunniksi ja niitä merkitään Zp, missä p on kunnan alkioiden lukumäärä. Ne ovat hyvin paljon käytettyjä sekä matematiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä että tietysti myös erilaisissa koetehtävissä.

Onko mahdollista rakentaa kuntia, joissa alkioiden lukumäärä ei ole alkuluku? On, mutta ei enää samalla tavalla kuin äsken esitin. Miksi? Kuvittele kunta, joka on rakennettu edellä kuvatulla tavalla ja jossa on vain neljä alkiota. Sellaisessa kunnassa pätee 2 ⊗ 2 = 0. Kahden nollasta eroavan luvun tulo on siis nolla. Tätä ei kunnassa saa tapahtua. Kunta-aksioomat eivät sitä suoraan kiellä, mutta se on melko helppo johtaa niistä. Osoittautuu kuitenkin, että jos kunnan alkioina käytetään lukujen sijasta polynomeja, voidaan rakentaa myös kuntia, joiden alkioiden lukumäärä on alkuluvun potenssi. Nelialkioinen kunta siis on olemassa, koska neljä on kakkosen potenssi.

Mahdollisia ovat tietenkin myös kunnat, joissa on äärettömän monta alkiota. Esimerkiksi reaalilukujen joukko yhdessä tavallisen yhteen- ja kertolaskun kanssa muodostaa myös kunnan. Tämä ei tietenkään päde vain reaaliluvuille, vaan myös rationaali- ja kompleksiluvuille. Luonnolliset luvut ja kokonaisluvut eivät muodosta kuntaa, koska niistä puuttuvat vasta-alkiot tai käänteisalkiot.

Ja paras vasta lopuksi. Kukaan ei tietenkään määrää, että kuntien täytyy koostua luvuista, polynomeista tai ylipäänsä mistään matemaattisista olioista. Kuten jo sanoin, voit rakentaa kunnan sukista, pehmoelefanteista jne. Ainoa ongelma lienee se, miten yhteen- ja kertolasku määritellään elefanteille. Mielenkiintoista tässä on, ettet voi koskaan onnistua rakentamaan kuntaa, jossa on kuusi sukkaa. Koska kuusi ei ole alkuluku eikä alkuluvun potenssi. Voit kuitenkin vallan hyvin rakentaa kunnan, jossa on seitsemäntoista sukkaa, numeroida ne (valkoinen sukka on 0, musta 1, vihreä 2 jne.) ja laskea niitä yhteen samalla tavalla kuin laskettiin jäännösluokkakunnassa.

Mihin tätä kaikkea tarvitaan?

Jos olet lukenut tänne asti, saatat ajatella, mihin ihmeessä tarvitaan näin hullua rakennetta kuin algebrallinen kunta. No, kunnat ovat hyvin tärkeitä, sekä teoreettisesti, koska ne kuvaavat ja ennen kaikkea yleistävät sitä, mitä voisi kutsua laskemiseksi eli aritmetiikaksi, että käytännössä, koska monet matemaattiset tai tietojenkäsittelytieteelliset ongelmat ratkeavat helpommin, kun ne kuvitellaan laskemiseksi kunnissa. Äärellisillä kunnilla on esimerkiksi suuri merkitys CD- ja DVD-levyjen koodeissa. Muuten lineaarialgebrassa kunnat ovat kulmakivi muille, monimutkaisemmille ja siksi paljon hyödyllisemmille ja mielenkiintoisemmille rakenteille, kuten vektoriavaruuksille. Ne muodostavat nimittäin koko lineaarialgebran perustan.

Tämän artikkelin kirjoittaja on Lishaak.