Come calcolare l’efficacia di un vaccino

Come può succedere che di una certa malattia muoiano più persone vaccinate che non vaccinate? Sembra un paradosso, e a prima vista suona perfino come se il vaccino non funzionasse – anzi, come se facesse danni – ma vedremo che non è necessariamente così.

Immagina una città con centomila abitanti, dove infuria una malattia terribile e subdola chiamata Provid. Gli scienziati e i ricercatori sono riusciti a creare un vaccino che protegge da questa malattia, e una parte degli abitanti è stata vaccinata. Eppure, quando guardiamo i dati, scopriamo che di Provid sono morte mille persone vaccinate e mille non vaccinate. Gli abitanti sono confusi e hanno l’impressione che il vaccino non funzioni, visto che muoiono tanti vaccinati quanti non vaccinati. Allora, il vaccino funziona o no?

Difficile dirlo 🤷 basandoci solo sui dati che abbiamo finora. Non ci basta sapere quanti vaccinati e quanti non vaccinati sono morti di Provid: dobbiamo sapere anche quante persone si sono vaccinate davvero. Potrei farti una domanda: che cosa è più pericoloso, andare in auto o scalare l’Everest? I numeri dei morti parlano chiaro: sull’Everest sono morte centinaia di persone. In auto ne muoiono più di un milione. Ogni anno. È evidente, quindi, che è più sicuro tentare di scalare l’Everest che salire su una bara a quattro ruote.

Ora ti si dovrebbe accendere una spia in testa: in realtà scalare l’Everest non è più sicuro che guidare un’auto. I numeri ci ingannano perché non abbiamo considerato che, mentre sull’Everest sono salite alcune migliaia di alpinisti, in auto viaggiano miliardi di persone. Allo stesso modo dobbiamo tenere conto di quante persone sono vaccinate nella nostra città immaginaria. Vediamo alcuni esempi:

• E se in città avessimo vaccinato solo mille persone e ne restassero 99 mila non vaccinate? Allora tutti i vaccinati sarebbero morti, mentre dei 99 mila non vaccinati ne sarebbero morti solo mille. Il vaccino non solo non aiuterebbe, ma farebbe danni!
• E se fosse il contrario, con 99 mila vaccinati e solo mille non vaccinati? Tutti i non vaccinati sarebbero morti, mentre dei 99 mila vaccinati ne sarebbero morti solo mille. Il vaccino non è efficace al 100%, ma evidentemente aumenta di ordini di grandezza le probabilità di sopravvivere.
• E se fosse stata vaccinata metà della città e l’altra metà no? Allora sarebbero morti mille vaccinati su cinquantamila e mille non vaccinati su cinquantamila. In entrambi i gruppi sarebbe morto il 2% degli abitanti – e questo significa che il vaccino non ha alcun effetto, né positivo né negativo.

Che cos’è l’efficacia di un vaccino

Bene, ma come si calcola l’efficacia di un vaccino? Diciamo che l’efficacia di un vaccino è la frazione di persone che il vaccino ha salvato dalla morte. Per esempio, supponiamo che di una malattia siano morti mille non vaccinati, mentre in una realtà alternativa, in cui quelle stesse mille persone fossero state vaccinate, ne siano morte solo 300 e 700 siano sopravvissute. In questo caso il vaccino avrebbe salvato 700 persone su 1000 e la sua efficacia sarebbe del 70%. Se non fosse morto nessuno, l’efficacia sarebbe del 100%; se fossero morti tutti, sarebbe dello 0%.

Il problema è che non abbiamo a disposizione due universi paralleli, in uno dei quali vacciniamo una persona e nell’altro la stessa persona no. Dobbiamo quindi calcolare l’efficacia in un altro modo. Torniamo alla nostra cittadina di centomila abitanti e aggiungiamo l’informazione mancante: supponiamo di aver vaccinato 90 mila persone. Sono dati che possiamo raccogliere anche nel mondo reale. Qual è l’efficacia del vaccino? Per prima cosa calcoliamo la percentuale di morti in ciascun gruppo, cioè quanti vaccinati e quanti non vaccinati, in percentuale, sono morti:

• Sono morti mille non vaccinati su 10 mila, cioè il 10%. Indichiamolo con M_N = 10% (mortalità dei non vaccinati).
• Sono morti mille vaccinati su 90 mila, cioè circa l’1,11%. Indichiamolo con M_V = 1,11% (mortalità dei vaccinati).

Vediamo che è morto l’1,11% dei vaccinati, mentre dei non vaccinati è morto il 10%. L’efficacia E si calcola con la formula

$$E=\frac{M_N-M_V}{M_N}\cdot 100\mathrm{\%}$$

Sostituendo otteniamo

$$E=\frac{10-1,11}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{8,89}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\mathrm{0,889}\cdot 100\mathrm{\%}=88,9\mathrm{\%}.$$

L’efficacia del nostro vaccino è dell’88,9%. Quindi il vaccino ha salvato l’88,9% delle persone che altrimenti sarebbero morte. Possiamo anche verificarlo: nel gruppo dei non vaccinati è morto il 10% delle persone. Se anche quelle 90 mila persone non fossero state vaccinate, ne sarebbe morto lo stesso 10%, cioè 9000. Poiché il vaccino ha un’efficacia dell’88,9%, l’88,9% di queste 9000 persone è sopravvissuto grazie al vaccino, cioè l’88,9% di 9000 è proprio 8000, e rimane un 11,1% di persone che purtroppo sono morte lo stesso – sono i mille morti dei dati iniziali.

Vediamo che questo vaccino ci dà probabilità di sopravvivenza molto più alte, ma non si può dire che dopo la vaccinazione siamo sicuri al 100% di non morire della malattia.

Più vaccinati, più morti tra i vaccinati

A proposito, questo porta a un paradosso interessante. Immaginiamo di vaccinare con il nostro vaccino, che ha un’efficacia dell’88,9%, altre 5000 persone in città, arrivando così a 95 mila vaccinati e solo cinquemila non vaccinati. Allora succede che

• dei 5000 non vaccinati ne muore il 10%, cioè 500;
• dei 95 mila vaccinati ne muore l’1,11%, cioè circa 1055.

‼️‼️‼️ SHOCK ‼️‼️‼️ Muoiono molti più vaccinati che non vaccinati. Ma dipende solo dal fatto che i vaccinati sono di gran lunga più numerosi dei non vaccinati. Si può dire anche così: in città i vaccinati sono 19 volte più dei non vaccinati, ma i morti vaccinati sono solo il doppio dei morti non vaccinati.

E soprattutto – il numero totale di morti è diminuito. Ora abbiamo 500 + 1055 = 1555 morti, mentre nell’esempio precedente ne avevamo 1000 + 1000 = 2000.

Diversi valori di efficacia

Vediamo alcuni valori interessanti dell’efficacia:

• Otterremmo un’efficacia del 100% se M_V fosse uguale a zero (nessun vaccinato è morto), mentre i non vaccinati continuassero a morire. L’efficacia di un vaccino non può essere superiore al 100%.
• Otterremmo un’efficacia dello 0% se M_N = M_V (se morisse la stessa percentuale di vaccinati e di non vaccinati). Significherebbe che il vaccino non ha alcun effetto.
• Otterremmo un’efficacia negativa se M_V fosse maggiore di M_N, cioè se morissero in percentuale più vaccinati che non vaccinati. In quel caso il vaccino farebbe danni.

Un vaccino con un’efficacia intorno all’83% puoi immaginarlo così: se ti ammalassi e avessi la sfortuna di essere proprio uno di quelli che la malattia sta per uccidere, la vaccinazione ti darebbe ancora una protezione in più – puoi tirare un dado: se esce da 1 a 5, la vaccinazione ti salva, se esce 6, la malattia ti uccide comunque.

Attenzione ai diversi gruppi di persone

Attenzione: quando calcoli l’efficacia di un vaccino, non è una buona idea seguire alla cieca la formula che ho scritto sopra. Per applicarla bisogna sapere come si comporta la malattia e qual è la nostra strategia vaccinale. Le malattie sono diverse, colpiscono gruppi di persone diversi e, allo stesso modo, gruppi di persone diversi avranno una diversa copertura vaccinale. Se una malattia colpisce solo le donne, la copertura vaccinale degli uomini può non interessarci. Se una malattia colpisce le persone più anziane, la copertura vaccinale dei più giovani può non interessarci ed è meglio calcolare l’efficacia in base alla copertura delle fasce d’età più alte.

Allo stesso modo, nei vaccini possiamo misurare diversi tipi di protezione. In tutto l’articolo abbiamo parlato in modo piuttosto macabro direttamente di morte, ma per i vaccini possiamo misurare anche quanto il vaccino riduce (o aumenta…) la probabilità di ammalarsi, di trasmettere la malattia o magari di aver bisogno del ricovero in ospedale.