Comment calculer l’efficacité d’un vaccin ?

Comment est-il possible qu’il y ait plus de morts d’une maladie chez les personnes vaccinées que chez les non-vaccinées ? Cela paraît paradoxal, on dirait même que la vaccination ne fonctionne pas – voire qu’elle est nuisible – mais nous allons voir que ce n’est pas forcément vrai.

Imagine une ville de cent mille habitants où sévit une maladie méchante et sournoise, le Provid. Des scientifiques et des chercheurs ont réussi à mettre au point un vaccin qui protège contre cette maladie, et une partie des habitants a été vaccinée. Pourtant, quand on regarde les données, on constate que 1 000 personnes vaccinées et 1 000 personnes non vaccinées sont mortes du Provid. Les habitants sont perplexes et ont l’impression que la vaccination ne fonctionne pas, puisqu’il y a autant de morts chez les vaccinés que chez les non-vaccinés. Alors, ce vaccin fonctionne-t-il, oui ou non ?

Difficile à dire 🤷 sur la seule base des données dont nous disposons pour l’instant. Il ne nous suffit pas de savoir combien de personnes vaccinées et non vaccinées sont mortes du Provid. Il nous faut aussi savoir combien de personnes se sont réellement fait vacciner. Je pourrais en effet te demander : qu’est-ce qui est le plus dangereux ? Rouler en voiture ou grimper sur le mont Everest ? Les chiffres des décès parlent clairement : des centaines de personnes sont mortes en tentant de gravir l’Everest. En voiture, plus d’un million de personnes se tuent. Chaque année. Il est donc évident qu’il est plus sûr d’essayer de gravir l’Everest que de monter dans un cercueil roulant.

Un voyant doit maintenant s’allumer dans ta tête – en réalité, il n’est pas plus sûr de grimper sur l’Everest que de conduire. Les chiffres nous trompent parce que nous n’avons pas pris en compte que, si des milliers d’alpinistes ont gravi l’Everest, des milliards de personnes roulent en voiture. De la même façon, nous devons tenir compte du nombre de personnes vaccinées dans notre ville imaginaire. Examinons quelques cas :

• Et si nous n’avions vacciné que 1 000 personnes dans la ville, et que 99 000 personnes n’étaient pas vaccinées ? Cela signifierait que tous les vaccinés sont morts. Alors que seulement 1 000 personnes non vaccinées sur 99 000 sont mortes. Non seulement le vaccin n’aiderait pas, mais il serait même nuisible !
• Et si c’était l’inverse, avec 99 000 vaccinés dans la ville et seulement 1 000 non-vaccinés ? Tous les non-vaccinés seraient donc morts, alors que chez les vaccinés, seules 1 000 personnes sur 99 000 seraient mortes. Le vaccin n’est certes pas efficace à 100 %, mais il augmente visiblement, de plusieurs ordres de grandeur, les chances de survie.
• Et si la moitié de la ville était vaccinée et l’autre moitié non ? Cela voudrait dire que 1 000 personnes sur 50 000 vaccinées et 1 000 personnes sur 50 000 non vaccinées seraient mortes. Dans les deux groupes, 2 % des habitants sont morts – ce qui signifie que le vaccin n’a aucun effet, ni positif ni négatif.

Qu’est-ce que l’efficacité d’un vaccin

Bien, mais comment calculer l’efficacité d’un vaccin ? Disons que l’efficacité d’un vaccin est la proportion des personnes que le vaccin a sauvées de la mort. Par exemple, supposons que 1 000 personnes non vaccinées soient mortes de la maladie, alors que, dans une réalité alternative où ces mêmes 1 000 personnes auraient été vaccinées, seules 300 seraient mortes et 700 auraient survécu. Dans ce cas, le vaccin a sauvé 700 personnes sur 1 000, et son efficacité serait de 70 %. Si personne n’était mort, l’efficacité serait de 100 %, et si tout le monde était mort, elle serait de 0 %.

Seulement voilà, nous ne disposons pas de deux univers parallèles dans lesquels nous vaccinerions quelqu’un dans l’un et ne vaccinerions pas cette même personne dans l’autre. Il faut donc calculer l’efficacité autrement. Revenons à notre petite ville de cent mille habitants. Ajoutons l’information manquante – disons que nous avons vacciné 90 000 personnes. Ce sont des données que nous pouvons aussi recueillir dans le monde réel. Quelle est l’efficacité du vaccin ? Calculons d’abord la proportion de morts dans chaque groupe, c’est-à-dire le pourcentage de vaccinés et de non-vaccinés qui sont morts :

• 1 000 personnes sur 10 000 non vaccinées sont mortes, soit 10 %. Notons-le T_N = 10 % (taux de décès chez les non-vaccinés).
• 1 000 personnes sur 90 000 vaccinées sont mortes, soit environ 1,11 %. Notons-le T_V = 1,11 % (taux de décès chez les vaccinés).

Nous voyons que 1,11 % des vaccinés sont morts, contre 10 % des non-vaccinés. L’efficacité E s’obtient à l’aide de la formule

$$E=\frac{T_N-T_V}{T_N}\cdot 100\mathrm{\%}$$

Après substitution, nous avons

$$E=\frac{10-1,11}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{8,89}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\mathrm{0,889}\cdot 100\mathrm{\%}=88,9\mathrm{\%}.$$

L’efficacité de notre vaccin est égale à 88,9 %. Autrement dit, le vaccin a sauvé 88,9 % des personnes qui seraient mortes sans lui. Nous pouvons d’ailleurs le vérifier par le calcul : dans le groupe des non-vaccinés, 10 % des personnes sont mortes. Si nous n’avions pas vacciné non plus ces 90 000 personnes, 10 % d’entre elles seraient mortes de la même façon, soit 9 000 personnes. Comme le vaccin a une efficacité de 88,9 %, 88,9 % de ces 9 000 personnes ont finalement survécu grâce au vaccin, c’est-à-dire que 88,9 % de 9 000 font exactement 8 000, et il nous reste 11,1 % de personnes qui, malheureusement, sont mortes malgré tout – ce sont ces 1 000 morts de l’énoncé.

Nous voyons que ce vaccin nous donne de bien meilleures chances de survie, mais on ne peut pas dire qu’après la vaccination nous avons la certitude à 100 % de ne pas mourir de la maladie.

Plus il y a de vaccinés, plus il y a de vaccinés morts

Cela conduit d’ailleurs à un paradoxe intéressant. Imaginons que nous vaccinions encore 5 000 personnes de plus dans la ville avec notre vaccin d’efficacité 88,9 %, c’est-à-dire que nous arrivions à 95 000 vaccinés et seulement 5 000 non-vaccinés. On aura alors :

• Sur 5 000 non-vaccinés, 10 % meurent, soit 500.
• Sur 95 000 vaccinés, 1,11 % meurent, soit environ 1 055.

‼️‼️‼️ CHOC ‼️‼️‼️ Il meurt beaucoup plus de vaccinés que de non-vaccinés. Mais cela s’explique uniquement par le fait qu’il y a bien plus de vaccinés que de non-vaccinés. On peut aussi le dire ainsi : alors qu’il y a dans la ville 19 fois plus de vaccinés que de non-vaccinés, il n’y a que deux fois plus de morts chez les vaccinés que chez les non-vaccinés.

Et surtout – le nombre total de morts a diminué. Alors que nous avons maintenant 500 + 1055 = 1555 morts, dans l’exemple précédent nous en avions 1000 + 1000 = 2000.

Différentes efficacités de vaccin

Regardons quelques valeurs intéressantes de l’efficacité :

• Nous obtiendrions une efficacité de 100 % si T_V était égal à zéro (aucun vacciné n’est mort) alors que des non-vaccinés mouraient. L’efficacité d’un vaccin ne peut pas dépasser 100 %.
• Nous obtiendrions une efficacité de 0 % si T_N = T_V (si la proportion de morts était la même chez les vaccinés et chez les non-vaccinés). Cela signifierait que le vaccin n’a aucun effet.
• Nous obtiendrions une efficacité négative si T_V était supérieur à T_N, c’est-à-dire si la proportion de morts était plus élevée chez les vaccinés que chez les non-vaccinés. Le vaccin serait alors nuisible.

Un vaccin d’efficacité d’environ 83 % peut s’imaginer ainsi : si tu tombais malade et que tu avais la malchance que la maladie soit justement censée t’emporter, la vaccination te donnerait encore une protection supplémentaire – tu peux lancer un dé, et si tu fais de un à cinq, la vaccination te sauve ; si tu fais six, la maladie te tue quand même.

Attention aux différents groupes de personnes

Fais attention : pour calculer l’efficacité d’une vaccination, mieux vaut ne pas suivre aveuglément la formule que j’ai donnée plus haut. Pour l’appliquer, il est bon de savoir comment la maladie se comporte et quelle est notre stratégie de vaccination. Les maladies sont différentes, elles s’attaquent à différents groupes de personnes, et de même, les différents groupes de personnes auront une couverture vaccinale différente. Si une maladie n’attaque que les femmes, la couverture vaccinale des hommes nous importe peu. Si une maladie attaque les personnes âgées, la couverture vaccinale des plus jeunes nous importe peu, et il vaudra mieux calculer l’efficacité en connaissant la couverture vaccinale des plus âgés.

De même, pour les vaccins, on peut mesurer différents types de protection. Dans tout cet article, nous avons parlé de façon morbide directement de la mort, mais pour les vaccins, nous pouvons aussi mesurer l’efficacité avec laquelle le vaccin diminue (ou augmente…) le risque de tomber malade, de transmettre la maladie ou encore d’avoir besoin d’une hospitalisation.