Wie berechnest du die Wirksamkeit einer Impfung?

Wie kann es sein, dass an einer Krankheit mehr geimpfte als ungeimpfte Menschen sterben können? Das klingt paradox, es klingt sogar ein bisschen so, als würde die Impfung nicht funktionieren – ja im Gegenteil, als würde sie schaden – aber wir zeigen, dass das nicht stimmen muss.

Stell dir vor, wir haben eine Stadt mit hunderttausend Einwohnern, in der eine böse und heimtückische Krankheit namens Provid wütet. Wissenschaftler und Forscher haben es aber geschafft, einen Impfstoff zu entwickeln, der vor dieser Krankheit schützt, und mit diesem Impfstoff haben sie einen Teil der Einwohner geimpft. Trotzdem sind, wenn wir uns die Daten ansehen, an Provid tausend geimpfte und tausend ungeimpfte Menschen gestorben. Die Einwohner sind verwirrt und haben das Gefühl, dass die Impfung nicht funktioniert, wenn gleich viele Geimpfte wie Ungeimpfte sterben. Wirkt der Impfstoff also, oder wirkt er nicht?

Schwer zu sagen 🤷 allein anhand dieser Daten, die wir bisher haben. Es genügt nämlich nicht zu wissen, wie viele geimpfte und ungeimpfte Menschen an Provid gestorben sind. Wir müssen zugleich wissen, wie viele Menschen sich tatsächlich haben impfen lassen. Ich könnte dich nämlich fragen: Was ist gefährlicher? Auto fahren oder den Mount Everest besteigen? Die Todeszahlen sprechen eine klare Sprache: Beim Versuch, den Everest zu besteigen, sind Hunderte Menschen gestorben. Im Auto kommen über eine Million Menschen ums Leben. Pro Jahr. Es ist also offensichtlich sicherer, den Everest zu besteigen, als in einen fahrenden Sarg zu steigen.

Jetzt muss bei dir ein Warnlämpchen im Kopf aufleuchten – in Wirklichkeit ist es nicht sicherer, den Everest zu besteigen, als Auto zu fahren. Die Zahlen täuschen uns, weil wir nicht berücksichtigt haben, dass zwar Tausende Bergsteiger auf den Everest gestiegen sind, aber Milliarden Menschen Auto fahren. Ähnlich müssen wir berücksichtigen, wie viele Menschen in unserer imaginären Stadt geimpft sind. Versuchen wir es an einigen Beispielen durchzugehen:

• Was ist, wenn wir in der Stadt nur tausend Menschen geimpft haben und 99.000 Menschen ungeimpft sind? Das würde bedeuten, dass jeder Geimpfte gestorben ist. Dagegen ist von den 99.000 Ungeimpften nur eintausend gestorben. Der Impfstoff würde also nicht nur nicht helfen, sondern im Gegenteil schaden!
• Was ist, wenn es umgekehrt wäre und in der Stadt 99.000 Geimpfte und nur tausend Ungeimpfte wären? Jeder Ungeimpfte wäre also gestorben, während von den Geimpften nur eintausend von 99.000 gestorben wäre. Der Impfstoff ist zwar nicht 100%ig, erhöht aber sichtbar die Überlebenschance um eine Größenordnung.
• Was ist, wenn die Hälfte der Stadt geimpft wäre und die andere Hälfte nicht? Dann würde das bedeuten, dass eintausend von fünfzigtausend Geimpften und eintausend von fünfzigtausend Ungeimpften gestorben ist. In beiden Gruppen sind zwei Prozent der Einwohner gestorben – das heißt, der Impfstoff hat keine Wirkung, weder eine positive noch eine negative.

Was ist die Wirksamkeit eines Impfstoffs

Gut, auf welche Weise berechnen wir also die Wirksamkeit eines Impfstoffs? Wir sagen, dass die Wirksamkeit eines Impfstoffs der Anteil der Menschen ist, die der Impfstoff vor dem Tod gerettet hat. Nehmen wir zum Beispiel an, an der Krankheit sind tausend Ungeimpfte gestorben, wobei in einer alternativen Realität, in der wir dieselben tausend Menschen geimpft hätten, nur 300 gestorben wären und 700 überlebt hätten. In diesem Fall hat der Impfstoff 700 von 1000 Menschen gerettet, die Wirksamkeit dieses Impfstoffs wäre 70 %. Wäre niemand gestorben, wäre die Wirksamkeit 100 %, wären alle gestorben, wäre die Wirksamkeit 0 %.

Na gut, aber wir haben keine zwei parallelen Universen zur Verfügung, in denen wir jemanden einmal impfen und im anderen denselben Menschen nicht impfen würden. Die Wirksamkeit müssen wir also anders berechnen. Kehren wir zu unserer Stadt mit hunderttausend Einwohnern zurück. Ergänzen wir die fehlende Information – nehmen wir an, dass wir 90.000 Menschen geimpft haben. Das sind Daten, die wir auch in der realen Welt sammeln können. Wie wirksam ist der Impfstoff? Als Erstes berechnen wir den Anteil der Toten in jeder Gruppe, also wie viel Prozent der Geimpften und der Ungeimpften gestorben sind:

• Eintausend von 10.000 Ungeimpften ist gestorben, das sind 10 %. Bezeichnen wir das als NL = 10 % (nicht geimpfte Leute).
• Eintausend von 90.000 Geimpften ist gestorben, das sind etwa 1,11 %. Bezeichnen wir das als OL = 1,11 % (geimpfte Leute).

Wir sehen, dass 1,11 % der Geimpften gestorben sind, während von den Ungeimpften 10 % gestorben sind. Die resultierende Wirksamkeit U berechnen wir mit der Formel

$$U=\frac{NL-OL}{NL}\cdot 100\mathrm{\%}$$

Nach dem Einsetzen haben wir

$$U=\frac{10-1,11}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{8,89}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\mathrm{0,889}\cdot 100\mathrm{\%}=88,9\mathrm{\%}.$$

Die Wirksamkeit unseres Impfstoffs beträgt 88,9 %. Der Impfstoff hat also 88,9 % der Menschen gerettet, die sonst gestorben wären. Wir können das übrigens auch nachrechnen: In der Gruppe der Ungeimpften sind 10 % der Menschen gestorben. Hätten wir die 90.000 Menschen ebenfalls nicht geimpft, wären von ihnen dieselben zehn Prozent gestorben, das sind 9000 Menschen. Da der Impfstoff eine Wirksamkeit von 88,9 % hat, haben letztlich 88,9 % dieser 9000 Menschen dank des Impfstoffs überlebt, d. h. 88,9 % von 9000 sind genau 8000, und es bleiben uns 11,1 % der Menschen, die leider trotzdem gestorben sind – das sind die tausend Toten aus der Aufgabenstellung.

Wir sehen, dass uns dieser Impfstoff eine viel höhere Überlebenschance gibt, aber man kann nicht sagen, dass wir nach der Impfung 100%ige Sicherheit haben, dass wir nicht an der Krankheit sterben.

Je mehr Geimpfte, desto mehr tote Geimpfte

Das führt übrigens zu einem interessanten Paradoxon. Stellen wir uns vor, dass wir mit unserem Impfstoff mit der Wirksamkeit 88,9 % noch weitere 5000 Menschen in der Stadt impfen, d. h. wir kommen auf 95.000 Geimpfte und nur fünftausend Ungeimpfte. Dann gilt, dass

• von 5000 Ungeimpften 10 % sterben, also 500.
• von 95.000 Geimpften 1,11 % sterben, also etwa 1055.

‼️‼️‼️ SCHOCK ‼️‼️‼️ Es sterben viel mehr Geimpfte als Ungeimpfte. Das liegt aber rein daran, dass es um eine Größenordnung mehr Geimpfte als Ungeimpfte gibt. Man kann es auch so sagen: Während es in der Stadt 19-mal mehr Geimpfte als Ungeimpfte gibt, haben wir nur doppelt so viele tote Geimpfte wie tote Ungeimpfte.

Und vor allem – die Gesamtzahl der Toten ist gesunken. Während wir jetzt 500 + 1055 = 1555 Tote haben, hatten wir im vorherigen Beispiel 1000 + 1000 = 2000 Tote.

Verschiedene Wirksamkeiten eines Impfstoffs

Schauen wir uns einige interessante Werte der Wirksamkeit an:

• Eine Wirksamkeit von 100 % würden wir erhalten, wenn OL gleich null wäre (kein Geimpfter ist gestorben), während Ungeimpfte sterben würden. Die Wirksamkeit eines Impfstoffs kann nicht größer als 100 % sein.
• Eine Wirksamkeit von 0 % würden wir erhalten, wenn NL = OL gelten würde (wenn prozentual gleich viele Geimpfte wie Ungeimpfte sterben würden). Das würde bedeuten, dass der Impfstoff keine Wirkung hat.
• Eine negative Wirksamkeit würden wir erhalten, wenn OL größer als NL wäre, also wenn prozentual mehr Geimpfte als Ungeimpfte sterben würden. Der Impfstoff würde in diesem Fall schaden.

Einen Impfstoff mit einer Wirksamkeit von etwa 83 % kannst du dir so vorstellen: Wenn du erkranken würdest und das Pech hättest, dass dich die Krankheit gerade niederstrecken sollte, gibt dir die Impfung noch zusätzlichen Schutz – du kannst würfeln, und wenn du eins bis fünf würfelst, rettet dich die Impfung, wenn du eine Sechs würfelst, tötet dich die Krankheit trotzdem.

Vorsicht bei verschiedenen Personengruppen

Beachte, dass es bei der Berechnung der Wirksamkeit einer Impfung nicht gut ist, sich blind nach der Formel zu richten, die ich oben angegeben habe. Für ihre Anwendung ist es gut zu wissen, wie sich die Krankheit verhält und wie unsere Impfstrategie aussieht. Krankheiten sind verschieden, sie greifen verschiedene Personengruppen an, und genauso haben verschiedene Personengruppen eine unterschiedliche Impfquote. Wenn eine Krankheit nur Frauen angreift, kann es uns egal sein, wie hoch die Impfquote der Männer ist. Wenn eine Krankheit ältere Jahrgänge angreift, kann es uns egal sein, wie hoch die Impfquote der jüngeren Jahrgänge ist, und es ist besser, die Wirksamkeit in Kenntnis der Impfquote der älteren Jahrgänge zu berechnen.

Genauso können wir bei Impfstoffen verschiedene Arten von Schutz messen. Im ganzen Artikel haben wir morbide gleich vom Tod gesprochen, aber bei Impfstoffen können wir auch messen, wie stark der Impfstoff die Wahrscheinlichkeit senkt (oder erhöht …), dass wir erkranken, dass wir die Krankheit weitergeben oder zum Beispiel, dass wir ins Krankenhaus müssen.