Diluizione e miscela delle soluzioni

Una soluzione si forma quando, per esempio, sciogliamo dell’etanolo nell’acqua. Otteniamo una miscela omogenea, composta dal soluto (l’etanolo) e dal solvente (l’acqua). Di solito per soluzione intendiamo una soluzione allo stato liquido, ma in generale possiamo avere anche una soluzione di due sostanze solide, per esempio una lega come il bronzo.

Concentrazione di una soluzione

La concentrazione ci dice quanto soluto c’è nella soluzione. Ci sono diversi modi per indicarla:

• In massa: quanti grammi di soluto ci sono in 100 g di soluzione.
• In volume: quanti millilitri di soluto ci sono in 100 ml di soluzione.
• Percentuale: che percentuale di soluto c’è nella soluzione; per esempio possiamo avere una soluzione al 40%, il che significa che ci sono 40 ml di sostanza ogni 100 ml di soluzione.

Quale concentrazione avrebbe una soluzione di acqua ed etanolo se ne avessimo 500 ml, di cui 150 ml di etanolo? Per ottenere la concentrazione in volume dobbiamo sapere quanti ml ci sono in 100 ml. Noi però sappiamo quanti ml ci sono in mezzo litro. Possiamo aiutarci con la regola del tre. Prima calcoliamo quanto etanolo ci sarebbe in 1 ml di soluzione, dividendo la quantità di etanolo per 500:

$$\frac{150\text{ml}}{500}=0,3\text{ml}$$

Conoscendo la quantità di etanolo in 1 ml, troviamo quella in 100 ml moltiplicando per 100:

$$0,3\text{ml}\cdot 100=30\text{ml}$$

La soluzione ha quindi una concentrazione di 30 ml di etanolo ogni 100 ml. Si tratta dunque di una soluzione al 30%.

La regola delle miscele

Con la regola delle miscele possiamo calcolare la concentrazione della soluzione che otteniamo mescolando due soluzioni diverse. Immaginiamo di avere due soluzioni:

1. una soluzione da 500 ml che contiene il 30% di etanolo,
2. una soluzione da 400 ml che contiene il 20% di etanolo.

Che concentrazione otteniamo mescolando queste soluzioni? Indichiamo con V₁ = 500 il volume della prima soluzione, con V₂ = 400 il volume della seconda e con V = V₁ + V₂ il volume della soluzione finale.

Ci servirà poi la cosiddetta frazione in volume, cioè l’espressione percentuale della concentrazione trasformata in frazione. La prima soluzione, con concentrazione del 30%, ha quindi frazione in volume $c_1=\frac{30}{100}$ e la seconda, con concentrazione del 20%, ha frazione in volume $c_2=\frac{20}{100}$. (Se lavorassimo con i grammi invece che con i millilitri, avremmo frazioni in massa, ma il principio sarebbe lo stesso.) La soluzione finale abbia frazione in volume c. Ora possiamo scrivere la regola delle miscele:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot V$$

In questa equazione l’unica incognita è la concentrazione finale c. Tutti i valori a sinistra del segno di uguale li conosciamo dai dati e conosciamo anche il volume finale V, che è semplicemente la somma dei volumi V₁ e V₂:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Sostituiamo i valori concreti al posto di tutte le variabili:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{20}{100}\cdot 400=c\cdot (500+400)$$

A sinistra calcoliamo ora i prodotti delle frazioni e a destra sommiamo semplicemente i volumi:

$$150+80=c\cdot 900$$

Ora dividiamo l’intera equazione per 900, in modo che a destra resti solo la concentrazione finale c:

$$\frac{150+80}{900}=c$$

Calcoliamo la somma al numeratore e scambiamo il primo e il secondo membro dell’equazione (di solito vogliamo l’incognita a sinistra):

$$c=\frac{230}{900}$$

Questa è la nostra frazione in volume finale. Se vogliamo ottenerla come rapporto, calcoliamo 230 diviso 900:

$$\frac{230}{900}=\mathrm{0,255}555\dots$$

L’espressione in percentuale si ottiene moltiplicando questo rapporto per 100, e così otteniamo circa il 25,6%. La soluzione finale avrà quindi una concentrazione di circa il 25,6%, cioè contiene circa 25,6 ml di etanolo ogni 100 ml.

Che cosa aggiungere per ottenere la soluzione desiderata?

Possiamo però avere bisogno di rispondere a una domanda un po’ diversa. Abbiamo di nuovo una soluzione da 500 ml che contiene il 30% di etanolo e una seconda soluzione che contiene il 55% di etanolo. Quanti ml della seconda soluzione dobbiamo mescolare con la prima per ottenere una soluzione al 40%? Usiamo di nuovo la regola delle miscele

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

L’unica incognita è V₂, tutto il resto lo conosciamo. Rispetto al caso precedente conosciamo infatti $c=\frac{40}{100}$, perché sappiamo che soluzione vogliamo ottenere. Sostituiamo i valori noti nella regola delle miscele:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{55}{100}\cdot V_2=\frac{40}{100}(500+V_2)$$

Moltiplichiamo l’intera equazione per 100:

$$30\cdot 500+55\cdot V_2=40\cdot (500+V_2)$$

Calcoliamo il prodotto a sinistra ed eliminiamo le parentesi a destra:

$$15000+55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2$$

Sottraiamo 15.000 da entrambi i membri dell’equazione:

$$55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2-15000$$

Sottraiamo 40 · V₂ da entrambi i membri dell’equazione:

$$55\cdot V_2-40\cdot V_2=40\cdot 500-15000$$

Sommiamo e sottraiamo quello che possiamo:

$$15\cdot V_2=20000-15000$$

Eseguiamo la sottrazione a destra:

$$15\cdot V_2=5000$$

Dividiamo entrambi i membri dell’equazione per 15:

$$V_2=\frac{5000}{15}=\mathrm{333,333}\dots$$

Dobbiamo quindi aggiungere circa 333 ml (un terzo di litro) della seconda soluzione al 55% per ottenere una soluzione con concentrazione del 40%. Possiamo verificare di aver calcolato bene. La prima soluzione da 500 ml conteneva il 30% di etanolo, cioè 150 ml di etanolo. Se aggiungiamo 333 ml della seconda soluzione al 55%, questa contiene 183 ml di etanolo. Alla fine abbiamo ottenuto una soluzione di volume 500 ml + 333 ml, cioè 833 ml, che contiene 150 ml + 183 ml, cioè 333 ml di etanolo. Se calcoliamo il rapporto

$$\frac{333}{833}\approx 0,4$$

Abbiamo ottenuto (dopo l’arrotondamento) una soluzione al 40% di etanolo e acqua.