Ci sono più numeri pari o più numeri dispari?

Secondo te, quali numeri sono di più: i pari o i dispari? Oppure sono tanti gli uni quanto gli altri? Come potremmo deciderlo? E con gli altri numeri come va? Ci sono più numeri pari o più numeri naturali? Più numeri naturali o più numeri razionali? Non è proprio semplice, perché tutti questi numeri sono infiniti. Eppure siamo in grado di confrontarli e capire quali sono di più e quali di meno.

Proviamo a vederlo su un piccolo insieme di numeri. Immaginiamo due insiemi di numeri: i numeri blu e i numeri rossi:

Possiamo dire in qualche modo quali sono di più? I rossi o i blu? Si vede chiaramente che… Come? Sei daltonico e non lo vedi chiaramente? Va bene, d’ora in poi disegneremo i numeri rossi anche come quadratini:

Ecco, adesso si vede chiaramente che i numeri blu sono più dei rossi. Era facile, perché lavoriamo con insiemi finiti di numeri e quindi possiamo contarli: abbiamo sei numeri blu e solo tre rossi. Gli insiemi infiniti non saranno così semplici, perché non possiamo contarli. Rispondiamo allora alla domanda del titolo: ci sono più numeri pari o più numeri dispari? Per semplicità restiamo ai numeri positivi. Immagina un sacco pieno di tutti i numeri dispari e un sacco pieno di tutti i numeri pari. Quale sacco è più grande?

Beh, immaginare una quantità infinita di numeri non è proprio facile, e contarli è ancora più difficile. Non esiste un altro modo per confrontare la grandezza degli insiemi?

Confronto tra due insiemi finiti

Immagina di avere un sacco pieno di sposi e un sacco pieno di spose. Se per ogni sposo abbiamo una sposa e per ogni sposa uno sposo, possiamo dire che il numero di sposi e di spose è lo stesso:

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Vedi? Ogni sposa della prima riga ha il suo sposo nella seconda riga e viceversa: ogni sposo ha la sua sposa. Potrebbe però succedere anche un altro caso: ogni sposa ha il suo sposo, ma non tutti gli sposi hanno una sposa:

👰 👰 👰 👰 👰 ❌

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Ogni sposa ha uno sposo, ma uno sposo resta scapolo, tutto triste. A questo punto, visto che uno sposo ci avanza, possiamo dire che gli sposi sono di più delle spose. Allo stesso modo, se ci avanza una sposa

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

possiamo dire che le spose sono più degli sposi.

Confronto tra due insiemi infiniti

Possiamo usare lo stesso procedimento per confrontare due insiemi infiniti? Possiamo abbinare ogni numero dispari a un numero pari e ogni numero pari a un numero dispari, senza usare nessun numero più di una volta? Possiamo! Ogni numero dispari n lo abbiniamo al numero pari n + 1. Quindi il numero 5 lo abbiniamo al numero 5 + 1, il numero 149 al numero 150 e così via. L’abbinamento è mostrato dalla seguente animazione:

Per ogni numero dispari rosso abbiamo un corrispondente numero pari blu, unico, e per ogni numero pari blu abbiamo un corrispondente numero dispari rosso, unico. Siamo riusciti ad abbinare tutti i numeri dispari a tutti i numeri pari. Ma questo significa che i numeri pari e quelli dispari sono in ugual quantità!

Va bene, non era poi così sorprendente, vero? Proviamo a confrontare altri insiemi di numeri: tutti i numeri naturali positivi contro i numeri pari. Qui il risultato sarà molto più sconcertante.

Ci sono più numeri naturali o più numeri pari?

Quali numeri sono di più? I naturali o i pari?

A quanto pare vediamo che i numeri naturali positivi contengono anche tutti i numeri pari. E in più contengono altri numeri: i numeri dispari. È chiaro, quindi, che i numeri naturali devono essere di più: ne contengono addirittura il doppio!

Eh, magari la vita fosse così semplice!

A noi non interessa se un insieme contiene qualche numero in più. Ci interessa se riusciamo in qualche modo ad abbinare i numeri di due insiemi diversi. Siamo in grado di abbinare ogni numero pari a un numero naturale positivo? Anche se i numeri naturali sono di più? Ma sì, ci riusciamo.

Ogni numero naturale positivo p lo possiamo abbinare semplicemente al numero pari 2 · p e viceversa: ogni numero pari n lo possiamo abbinare al numero naturale n / 2. Quindi il numero naturale 5 lo abbiniamo al numero pari 10 e il numero pari 14 al numero naturale 7 e così via. L’abbinamento per i primi numeri è mostrato dalla seguente animazione:

All’improvviso abbiamo, per ogni numero naturale positivo, un numero pari unico, e per ogni numero pari un numero naturale positivo unico! Che importa se i numeri naturali sono di più. Entrambi gli insiemi sono infiniti e non finiranno mai. Dal nostro punto di vista, quindi, l’insieme dei numeri pari è grande quanto l’insieme dei numeri naturali positivi! 😱

È un po’ controintuitivo, ma è così.

Ci sono più numeri naturali o più numeri razionali?

I numeri razionali sono le frazioni. Tutti i numeri che si possono scrivere nella forma p/q, dove p e q sono numeri interi e q ≠ 0, sono numeri razionali. Per esempio ½, ¾ oppure 8 sono numeri razionali, mentre π non lo è. I numeri razionali sono molti di più dei naturali. Per esempio, tra i numeri 2 e 4 esiste un solo numero intero, cioè il 3, ma infiniti numeri razionali. Anzi, ci sono infiniti numeri razionali anche tra 0,001 e 0,002. Ecco quanti sono i numeri razionali!

Ci si aspetterebbe quindi che l’insieme dei numeri razionali debba essere più grande di quello dei numeri naturali. Ma sotto sotto sentiamo tutti che ci deve essere un trucco. Bene, proviamo ad abbinare i numeri razionali ai numeri naturali. Cominciamo scrivendo i numeri razionali in una tabella di questo tipo:

Lo schema dovrebbe essere chiaro: tutte le frazioni della prima riga hanno 1 al numeratore (sopra la linea di frazione) e al denominatore i numeri crescenti 1, 2, 3 e così via. Lungo la colonna è il contrario. Se continuassimo all’infinito, in questa tabella avremmo tutte le frazioni esistenti. Per esempio la frazione 1478/517 si trova nella riga 1478 e nella colonna 517. Proviamo ora a costruire la nostra funzione di abbinamento. Potremmo farlo così:

• Il numero naturale 1 lo abbiniamo alla prima frazione della prima riga, cioè a 1/1
• Il numero naturale 2 lo abbiniamo alla seconda frazione della prima riga, cioè a 1/2
• Il numero naturale 3 lo abbiniamo alla terza frazione della prima riga, cioè a 1/3
• Il numero naturale 4 lo abbiniamo alla quarta frazione della prima riga, cioè a 1/4
• …

Siamo riusciti ad abbinare in questo modo tutti i numeri naturali positivi? Sì. Ogni numero naturale ha il suo corrispondente. Al numero naturale 174 corrisponde la frazione 1/174. Ma vale anche il contrario? Ogni frazione ha il suo corrispondente tra i numeri naturali? Quale corrispondente ha la frazione 2/3? Nessuno, perché con la nostra funzione di abbinamento non siamo mai arrivati alla seconda riga. Siamo riusciti ad abbinare soltanto la prima riga di frazioni.

Significa che i numeri razionali sono più dei naturali? Purtroppo no: il fatto che una strategia di abbinamento non funzioni non significa che non ne funzioni un’altra. Questa volta proviamo a procedere lungo le diagonali:

• Il numero naturale 1 lo abbiniamo alla frazione 1/1 (prima diagonale),
• il numero naturale 2 lo abbiniamo alla frazione 1/2 (seconda diagonale),
• il numero naturale 3 lo abbiniamo alla frazione 2/1 (seconda diagonale),
• il numero naturale 4 lo abbiniamo alla frazione 1/3 (terza diagonale),
• il numero naturale 5 lo abbiniamo alla frazione 2/2 (terza diagonale),
• il numero naturale 6 lo abbiniamo alla frazione 3/1 (terza diagonale),
• e così via.

Puoi vedere la strategia di abbinamento nell’animazione:

In questo modo possiamo coprire tutte le frazioni. Nessuna diagonale è infinita, quindi in nessuna diagonale ci perderemo «per sempre». Alla fine a ogni frazione sarà assegnato un numero naturale e, naturalmente, a ogni numero naturale sarà assegnata una frazione unica.

Beh… In realtà non proprio. Se guardiamo di nuovo la nostra tabella di frazioni, scopriamo che molti numeri si ripetono. Per esempio le frazioni 1/1, 2/2, 3/3 e così via rappresentano lo stesso numero: il numero 1. Allo stesso modo le frazioni 1/2, 2/4 e 3/6 rappresentano un mezzo. In realtà, quindi, i numeri naturali 1, 5, 13 e così via li stiamo associando allo stesso numero razionale 1! Abbiamo più sposi che si sposano con la stessa sposa. Non si può!

Per fortuna possiamo rimediare facilmente. Dalla nostra tabella cancelliamo semplicemente tutte le frazioni che non sono ridotte ai minimi termini, cioè tutte quelle che si possono semplificare. Dopo la cancellazione nella tabella restano soltanto numeri razionali distinti e il nostro trucco delle diagonali funzionerà. Ogni numero naturale sarà abbinato a un numero razionale unico e viceversa.

Ma questo significa che l’insieme dei numeri naturali è grande quanto l’insieme dei numeri razionali!

Finora sembra che tutti gli insiemi infiniti abbiano la stessa grandezza. Esiste un insieme infinito che sia più grande dell’insieme dei numeri naturali?

Ci sono più numeri naturali o più numeri reali?

Entra in gioco la nostra ultima ancora di salvezza: i numeri reali. Altri numeri sulla retta reale non ne abbiamo più. Come sono fatti i numeri reali? Contengono tutti i numeri razionali e in più tutti i numeri irrazionali. Se scriviamo un numero in forma decimale, un numero razionale:

• ha uno sviluppo decimale finito, per esempio 0,4841554,
• oppure ha uno sviluppo infinito periodico: 0,1313131313…

I numeri irrazionali, invece, hanno sempre uno sviluppo decimale infinito e non periodico. Un numero irrazionale è per esempio π, che è uguale a 3,141592653… (nessun periodo). Diciamolo subito: i numeri reali sono molti di più dei numeri razionali e quindi anche dei numeri naturali. L’insieme dei numeri reali è più grande dell’insieme dei numeri naturali. E come lo dimostriamo?

Immagina di aver trovato una strategia di abbinamento per abbinare tutti i numeri naturali a tutti i numeri reali. Supponiamo che sia questa:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
…

Supponiamo che a sinistra ci siano tutti i numeri naturali positivi e a destra tutti i numeri reali. Se fosse vero, non potremmo trovare nessun numero reale che manca sulla destra. Siccome ci siamo già spoilerati che l’insieme dei numeri reali è più grande, ciò significa che a destra ci manca qualche numero. Eh già, ma quale? Per esempio vediamo che manca il numero 0,4818063607183678. Ma se si nascondesse proprio sotto il numero 8?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
…

E il numero 0,4208424736008147? Neanche quello lo vediamo. Ma se si nascondesse proprio sotto il numero nove?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

Così non si va da nessuna parte. Naturalmente non possiamo scrivere tutte le coppie, perché sono infinite, e non possiamo nemmeno tirare a indovinare se per caso questo numero c’è o non c’è. Ci servirebbe trovare un numero che differisce da tutti i numeri a destra nella tabella, anche se non sappiamo quali siano tutti i numeri a destra. Come ci riusciamo?

Perché due numeri siano diversi, basta che differiscano in una cifra. Per esempio i numeri 0,123456 e 0,123457 non sono uguali, eppure differiscono in una sola cifra. Ci basta. Nella nostra tabella possiamo quindi evidenziare, in ogni n-esimo numero reale, la n-esima cifra dopo la virgola:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

e costruiamo il nuovo numero in modo che nella sua n-esima cifra dopo la virgola sia diverso dalla n-esima cifra dell’n-esimo numero reale. Il nuovo numero lo costruiamo così: partiamo da zero, 0,???, e la prima cifra dopo la virgola la scegliamo diversa dalla prima cifra del primo numero reale, cioè diversa da 3. Scriviamo per esempio 0,1???. La seconda cifra deve essere diversa dalla seconda cifra del secondo numero reale, cioè diversa da 9. Scriviamo per esempio un 2: 0,12???. E così via. Le prime nove cifre potrebbero quindi essere 0,123123127 (vedi l’ultima riga della tabella):

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
? → 0,123123127

Vediamo che questo numero è diverso da tutti gli altri, perché da ciascuno differisce almeno in una cifra. Anche se la nostra tabella contiene infiniti numeri, il nostro nuovo numero è formato da infinite cifre scelte in modo da differire da tutti i numeri della tabella almeno in una cifra. E nota che possiamo costruire infiniti numeri che nella tabella non ci sono! Che cosa ne ricaviamo? Non siamo in grado di abbinare i numeri naturali ai numeri reali. Ci resteranno sempre infiniti numeri reali che non sono abbinati a nessun numero naturale. I numeri reali sono molti di più dei numeri naturali.

Note finali

• Per semplicità in tutto l’articolo abbiamo ignorato i numeri negativi e lo zero. Naturalmente non cambiano nulla, e per compito a casa puoi modificare le strategie di abbinamento qui descritte in modo che funzionino anche con i numeri negativi e con lo zero.
• La grandezza dell’insieme dei numeri naturali ha addirittura un nome. Si chiama aleph zero.
• In matematica si usa spesso il termine cardinalità al posto di «grandezza di un insieme».