Sådan beregner du en vaccines effektivitet

Hvordan kan det lade sig gøre, at der kan dø flere vaccinerede end uvaccinerede af en given sygdom? Det lyder paradoksalt, det lyder næsten, som om vaccinen ikke virker — ja endda gør skade — men vi viser, at det ikke behøver at være sandt.

Forestil dig, at vi har en by med hundrede tusind indbyggere, og at der i byen hærger en ond og snigende sygdom, Provid. Videnskabsfolk og forskere har dog kunnet udvikle en vaccine, der beskytter mod sygdommen, og med den vaccine har man vaccineret en del af indbyggerne. Men når vi ser på data, er der alligevel død tusind vaccinerede og tusind uvaccinerede af Provid. Indbyggerne er forvirrede og får det indtryk, at vaccinen ikke virker, når der dør lige så mange vaccinerede som uvaccinerede. Virker vaccinen så, eller virker den ikke?

Det er svært at sige 🤷 alene på grundlag af de data, vi har til rådighed indtil videre. Det er nemlig ikke nok at vide, hvor mange vaccinerede og uvaccinerede der er døde af Provid. Vi har samtidig brug for at vide, hvor mange der faktisk lod sig vaccinere. Jeg kunne nemlig spørge dig: hvad er farligst? At køre i bil eller at bestige Mount Everest? Dødstallene taler et tydeligt sprog: da folk forsøgte at bestige Everest, døde der hundredvis af mennesker. I biler omkommer over en million mennesker. Hvert år. Det er altså klart, at det er sikrere at forsøge at bestige Everest end at stige ind i en rullende ligkiste.

Nu må der lyse en advarselslampe i dit hoved — i virkeligheden er det ikke sikrere at bestige Everest end at køre bil. Tallene snyder os, fordi vi ikke tog med i betragtning, at mens der er tusindvis af bjergbestigere, der har besteget Everest, er der milliarder af mennesker, der kører i bil. På samme måde må vi tage med i betragtning, hvor mange mennesker i vores tænkte by der er vaccineret. Lad os gennemgå det på nogle eksempler:

• Hvad hvis vi kun havde vaccineret tusind mennesker i byen, og 99 tusind er uvaccinerede? Så ville det betyde, at alle vaccinerede døde. Mens kun et tusind af de 99 tusind uvaccinerede døde. Vaccinen ville altså ikke bare ikke hjælpe, men tværtimod gøre skade!
• Hvad hvis det var omvendt, og der i byen var 99 tusind vaccinerede og kun et tusind uvaccinerede? Alle de uvaccinerede er altså døde, mens der af de vaccinerede kun ville dø et tusind af 99 tusind. Vaccinen er ikke 100 % effektiv, men den øger tydeligvis chancen for at overleve med flere størrelsesordener.
• Hvad hvis halvdelen af byen var vaccineret og den anden halvdel ikke? Så ville det betyde, at der døde et tusind af halvtreds tusind vaccinerede og et tusind af halvtreds tusind uvaccinerede. I begge grupper døde to procent af indbyggerne — det betyder, at vaccinen ikke har nogen effekt, hverken positiv eller negativ.

Hvad er en vaccines effektivitet

Okay, men hvordan beregner vi så en vaccines effektivitet? Vi siger, at en vaccines effektivitet er andelen af mennesker, som vaccinen reddede fra døden. Lad os for eksempel sige, at der døde tusind uvaccinerede mennesker af sygdommen, mens der i en alternativ virkelighed, hvor vi havde vaccineret de samme tusind mennesker, kun døde 300, og 700 overlevede. I så fald reddede vaccinen 700 mennesker ud af 1000, og vaccinens effektivitet ville være 70 %. Hvis ingen døde, ville effektiviteten være 100 %, og hvis alle døde, ville effektiviteten være 0 %.

Men vi har jo ikke to parallelle universer til rådighed, hvor vi i det ene vaccinerer en person og i det andet ikke vaccinerer den samme person. Effektiviteten må vi derfor beregne på en anden måde. Lad os vende tilbage til vores lille by med hundrede tusind indbyggere. Lad os tilføje den manglende oplysning — lad os sige, at vi har vaccineret 90 tusind mennesker. Det er data, som vi kan indsamle i den virkelige verden. Hvad er vaccinens effektivitet? Først beregner vi andelen af døde i hver gruppe, altså hvor mange procent af de vaccinerede og de uvaccinerede der døde:

• Der døde et tusind af 10 tusind uvaccinerede, og det er 10 %. Lad os kalde det NL = 10 % (uvaccinerede).
• Der døde et tusind af 90 tusind vaccinerede, og det er cirka 1,11 %. Lad os kalde det OL = 1,11 % (vaccinerede).

Vi ser, at der døde 1,11 % af de vaccinerede, mens der døde 10 % af de uvaccinerede. Den resulterende effektivitet U beregner vi med formlen

$$U=\frac{NL-OL}{NL}\cdot 100\mathrm{\%}$$

Når vi indsætter, får vi

$$U=\frac{10-1,11}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{8,89}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\mathrm{0,889}\cdot 100\mathrm{\%}=88,9\mathrm{\%}.$$

Vores vaccines effektivitet er 88,9 %. Altså reddede vaccinen 88,9 % af de mennesker, som ellers ville være døde. Det kan vi i øvrigt også regne efter: i gruppen af uvaccinerede døde 10 % af menneskerne. Hvis vi heller ikke havde vaccineret de 90 tusind mennesker, ville der af dem være døde de samme ti procent, og det er 9000 mennesker. Fordi vaccinen har en effektivitet på 88,9 %, overlevede 88,9 % af disse 9000 mennesker takket være vaccinen, altså er 88,9 % af 9000 netop 8000, og tilbage er 11,1 % af menneskerne, som desværre døde alligevel — det er de tusind døde fra eksemplet.

Vi ser, at denne vaccine giver os en meget større chance for at overleve, men man kan ikke sige, at vi efter vaccinationen har 100 % sikkerhed for, at vi ikke dør af sygdommen.

Jo flere vaccinerede, desto flere døde vaccinerede

Det fører i øvrigt til et interessant paradoks. Lad os forestille os, at vi med vores vaccine med en effektivitet på 88,9 % vaccinerer yderligere 5000 mennesker i byen, altså at vi kommer op på 95 tusind vaccinerede og kun fem tusind uvaccinerede. Så gælder det, at

• Af 5000 uvaccinerede dør 10 %, altså 500.
• Af 95 tusind vaccinerede dør 1,11 %, altså cirka 1055.

‼️‼️‼️ CHOK ‼️‼️‼️ Der dør langt flere vaccinerede end uvaccinerede. Det skyldes udelukkende, at der er langt flere vaccinerede end uvaccinerede. Man kan også sige det sådan, at mens der er 19 gange så mange vaccinerede i byen som uvaccinerede, har vi kun dobbelt så mange døde vaccinerede som uvaccinerede.

Og frem for alt — det samlede antal døde faldt. Mens vi nu har 500 + 1055 = 1555 døde, havde vi i det forrige eksempel 1000 + 1000 = 2000 døde.

Forskellige effektiviteter

Lad os se på nogle interessante værdier af effektiviteten:

• 100 % effektivitet ville vi få, hvis OL var lig med nul (ingen af de vaccinerede døde), mens de uvaccinerede døde. En vaccines effektivitet kan ikke være større end 100 %.
• 0 % effektivitet ville vi få, hvis NL = OL (hvis der procentuelt døde lige så mange vaccinerede som uvaccinerede). Det ville betyde, at vaccinen ikke har nogen virkning.
• Negativ effektivitet ville vi få, hvis OL var større end NL, altså hvis der procentuelt døde flere vaccinerede end uvaccinerede. Vaccinen ville i så fald gøre skade.

En vaccine med en effektivitet på omkring 83 % kan du forestille dig sådan: hvis du blev syg og havde den uheldige skæbne, at netop du skulle have været slået ihjel af sygdommen, giver vaccinationen dig stadig en ekstra beskyttelse — du kan slå med en terning, og hvis du slår en til fem, redder vaccinationen dig, og hvis du slår en sekser, dræber sygdommen dig alligevel.

Pas på forskellige grupper af mennesker

Vær opmærksom på, at man ved beregning af vaccinationens effektivitet ikke bare blindt bør følge den formel, jeg angav ovenfor. For at anvende den er det godt at vide, hvordan sygdommen opfører sig, og hvad vores vaccinationsstrategi er. Sygdomme er forskellige, de angriber forskellige grupper af mennesker, og på samme måde vil forskellige grupper af mennesker have forskellig vaccinationsdækning. Hvis en sygdom kun angriber kvinder, kan det være os ligegyldigt, hvor høj mændenes vaccinationsdækning er. Hvis en sygdom angriber ældre årgange, kan det være os ligegyldigt, hvor høj vaccinationsdækningen er blandt de yngre årgange, og det vil være bedre at beregne effektiviteten med kendskab til de ældre årganges vaccinationsdækning.

På samme måde kan vi ved vacciner måle forskellige typer beskyttelse. I hele artiklen skrev vi morbidt direkte om døden, men ved vacciner kan vi også måle effektiviteten af, hvordan vaccinen mindsker (eller øger …) chancen for, at vi bliver syge, at vi smitter andre, eller for eksempel at vi får brug for indlæggelse.