Miten rokotteen tehokkuus lasketaan?

Miten on mahdollista, että tiettyyn tautiin voi kuolla enemmän rokotettuja kuin rokottamattomia? Se kuulostaa paradoksilta, jopa siltä, ettei rokotus toimi — tai että se jopa vahingoittaa — mutta nähdään, ettei se välttämättä pidä paikkaansa.

Kuvitellaan kaupunki, jossa asuu sata tuhatta ihmistä ja jossa riehuu ilkeä ja salakavala tauti nimeltä Provid. Tutkijat ovat kuitenkin onnistuneet kehittämään rokotteen, joka suojaa tältä taudilta, ja sillä on rokotettu osa asukkaista. Silti tietoja katsoessa huomataan, että Providiin kuoli tuhat rokotettua ja tuhat rokottamatonta. Asukkaat ovat ymmällään ja tuntevat, ettei rokotus toimi, kun rokotettuja kuolee yhtä paljon kuin rokottamattomia. Toimiiko rokote siis vai eikö toimi?

Vaikea sanoa 🤷 pelkästään näiden tietojen perusteella, jotka ovat toistaiseksi käytettävissä. Ei nimittäin riitä, että tiedetään, kuinka monta rokotettua ja rokottamatonta Providiin kuoli. Täytyy tietää myös, kuinka moni on todella ottanut rokotteen. Voisin nimittäin kysyä: kumpi on vaarallisempaa? Ajaa autolla vai kiivetä Mount Everestille? Kuolemantapausten määrät puhuvat selvää kieltä: Everestille kiivetessä on kuollut satoja ihmisiä. Autossa kuolee yli miljoona ihmistä. Vuodessa. On siis selvää, että Everestille kiipeäminen on turvallisempaa kuin autoon nouseminen.

Nyt jokaisen päässä varmasti syttyy varoitusvalo — todellisuudessa Everestille kiipeäminen ei ole autolla ajamista turvallisempaa. Luvut johtavat harhaan siksi, ettei otettu huomioon, että Everestille on kiivennyt tuhansia vuorikiipeilijöitä, mutta autolla ajaa miljardeja ihmisiä. Samoin täytyy ottaa huomioon, kuinka moni kuvitteellisen kaupungin asukas on rokotettu. Tutkitaan asiaa muutaman esimerkin avulla:

• Entä jos kaupungissa rokotettiin vain tuhat ihmistä ja 99 tuhatta on rokottamattomia? Se tarkoittaisi, että jokainen rokotettu kuoli. Rokottamattomista 99 tuhannesta kuoli sen sijaan vain tuhat. Rokote ei siis olisi pelkästään hyödytön, vaan jopa vahingollinen!
• Entä jos asia olisikin päinvastoin ja kaupungissa olisi 99 tuhatta rokotettua ja vain tuhat rokottamatonta? Jokainen rokottamaton siis kuoli, kun taas rokotetuista kuoli vain tuhat 99 tuhannesta. Rokote ei ole 100-prosenttisesti tehokas, mutta se parantaa näkyvästi selviytymisen mahdollisuuksia moninkertaisesti.
• Entä jos puolet kaupungista olisi rokotettu ja toinen puoli ei? Silloin rokotetuista viidestäkymmenestä tuhannesta kuolisi tuhat ja rokottamattomista viidestäkymmenestä tuhannesta kuolisi tuhat. Kummassakin ryhmässä kuolisi kaksi prosenttia asukkaista — se tarkoittaa, ettei rokotteella ole mitään vaikutusta, ei myönteistä eikä kielteistä.

Mitä rokotteen tehokkuus on

Miten rokotteen tehokkuus sitten lasketaan? Sanotaan, että rokotteen tehokkuus on niiden ihmisten osuus, jotka rokote pelasti kuolemalta. Oletetaan esimerkiksi, että tautiin kuoli tuhat rokottamatonta ihmistä, mutta vaihtoehtoisessa todellisuudessa, jossa nämä samat tuhat ihmistä olisi rokotettu, heistä olisi kuollut vain 300 ja 700 olisi selvinnyt. Tällöin rokote pelasti 700 ihmistä tuhannesta, joten rokotteen tehokkuus olisi 70 %. Jos kukaan ei kuolisi, tehokkuus olisi 100 %, ja jos kaikki kuolisivat, tehokkuus olisi 0 %.

Käytössä ei kuitenkaan ole kahta rinnakkaista universumia, joista toisessa joku rokotettaisiin ja toisessa sama ihminen jätettäisiin rokottamatta. Tehokkuus täytyy siis laskea toisin. Palataan sadantuhannen asukkaan kaupunkiin. Lisätään puuttuva tieto — oletetaan, että rokotettiin 90 tuhatta ihmistä. Nämä ovat tietoja, jotka pystytään keräämään myös oikeassa maailmassa. Mikä on rokotteen tehokkuus? Lasketaan ensin kuolleiden osuus kummassakin ryhmässä, eli kuinka monta prosenttia rokotetuista ja rokottamattomista kuoli:

• Kymmenestä tuhannesta rokottamattomasta kuoli tuhat, mikä on 10 %. Merkitään tätä NL = 10 % (rokottamattomat ihmiset).
• Yhdeksästäkymmenestä tuhannesta rokotetusta kuoli tuhat, mikä on noin 1,11 %. Merkitään tätä OL = 1,11 % (rokotetut ihmiset).

Nähdään, että rokotetuista kuoli 1,11 %, kun taas rokottamattomista kuoli 10 %. Lopullinen tehokkuus U lasketaan kaavalla

$$U=\frac{NL-OL}{NL}\cdot 100\mathrm{\%}$$

Sijoittamalla saadaan

$$U=\frac{10-1,11}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{8,89}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\mathrm{0,889}\cdot 100\mathrm{\%}=88,9\mathrm{\%}.$$

Rokotteen tehokkuus on 88,9 %. Rokote siis pelasti 88,9 % niistä ihmisistä, jotka olisivat muuten kuolleet. Voidaan myös laskea tarkistus: rokottamattomien ryhmässä kuoli 10 % ihmisistä. Jos nämä 90 tuhatta ihmistä olisi jätetty rokottamatta, heistä olisi kuollut samat kymmenen prosenttia, eli 9 000 ihmistä. Koska rokotteen tehokkuus on 88,9 %, 88,9 % näistä 9 000:sta selvisi lopulta rokotteen ansiosta, eli 88,9 % luvusta 9 000 on juuri 8 000 ja jäljelle jää 11,1 % ihmisistä, jotka valitettavasti kuolivat siitä huolimatta — se on se tuhat kuollutta tehtävänannosta.

Nähdään, että tämä rokote antaa paljon paremmat mahdollisuudet selviytyä, mutta ei voida sanoa, että rokotuksen jälkeen olisi 100 %:n varmuus siitä, ettei tautiin kuole.

Mitä enemmän rokotettuja, sitä enemmän kuolleita rokotettuja

Tästä seuraa muuten mielenkiintoinen paradoksi. Kuvitellaan, että 88,9 %:n tehokkuuden rokotteella rokotetaan kaupungissa vielä 5 000 ihmistä lisää, eli rokotettuja on 95 tuhatta ja rokottamattomia vain viisi tuhatta. Tällöin pätee, että

• 5 000 rokottamattomasta kuolee 10 %, eli 500.
• 95 tuhannesta rokotetusta kuolee 1,11 %, eli noin 1 055.

‼️‼️‼️ SHOKKI ‼️‼️‼️ Rokotettuja kuolee paljon enemmän kuin rokottamattomia. Se johtuu kuitenkin pelkästään siitä, että rokotettuja on moninkertaisesti enemmän kuin rokottamattomia. Asian voi sanoa myös niin, että vaikka kaupungissa on rokotettuja 19 kertaa enemmän kuin rokottamattomia, kuolleita rokotettuja on vain kaksi kertaa enemmän kuin kuolleita rokottamattomia.

Ennen kaikkea — kuolleiden kokonaismäärä pieneni. Nyt kuolleita on 500 + 1055 = 1555, kun taas edellisessä esimerkissä kuolleita oli 1000 + 1000 = 2000.

Rokotteen tehokkuuden eri arvoja

Tarkastellaan joitakin mielenkiintoisia tehokkuuden arvoja:

• Tehokkuus olisi 100 %, jos OL olisi nolla (yksikään rokotettu ei kuollut), kun taas rokottamattomia kuolisi. Rokotteen tehokkuus ei voi olla suurempi kuin 100 %.
• Tehokkuus olisi 0 %, jos NL = OL (jos rokotetuista kuolisi prosentuaalisesti yhtä suuri osa kuin rokottamattomista). Se tarkoittaisi, ettei rokotteella ole mitään vaikutusta.
• Tehokkuus olisi negatiivinen, jos OL olisi suurempi kuin NL, eli jos rokotetuista kuolisi prosentuaalisesti enemmän kuin rokottamattomista. Rokote olisi tällöin vahingollinen.

Rokotteen, jonka tehokkuus on noin 83 %, voi kuvitella näin: jos sairastuisit ja olisit niin huonolla tuurilla, että tauti olisi juuri sinun kohdallasi kuolemaksi, rokotus antaa sinulle vielä lisäsuojaa — voit heittää noppaa, ja jos heität yhdestä viiteen, rokotus pelastaa sinut, mutta jos heität kuutosen, tauti tappaa sinut silti.

Ota huomioon eri ihmisryhmät

Huomaa, että rokotuksen tehokkuutta laskettaessa ei kannata sokeasti noudattaa edellä esitettyä kaavaa. Sen soveltamiseksi on hyvä tietää, miten tauti käyttäytyy ja millainen rokotusstrategia on. Taudit ovat erilaisia, ne iskevät eri ihmisryhmiin, ja eri ihmisryhmillä on myös eri rokotuskattavuus. Jos jokin tauti iskee vain naisiin, miesten rokotuskattavuudella ei ole väliä. Jos tauti iskee ikääntyneisiin, nuorempien ikäluokkien rokotuskattavuudella ei ole väliä, ja tehokkuus kannattaa laskea vanhempien ikäluokkien rokotuskattavuuden perusteella.

Samoin rokotteilla voidaan mitata erityyppistä suojaa. Koko artikkelissa puhuttiin morbidisti suoraan kuolemasta, mutta rokotteilla voidaan mitata myös sitä, miten rokote vähentää (tai lisää…) todennäköisyyttä sairastua, levittää tautia eteenpäin tai joutua sairaalahoitoon.