Hoe bereken je de effectiviteit van een vaccin?

Hoe kan het dat er aan een bepaalde ziekte meer gevaccineerden dan ongevaccineerden overlijden? Het klinkt paradoxaal, het klinkt zelfs een beetje alsof vaccineren niet werkt, of sterker nog, schadelijk is, maar we laten zien dat dat niet waar hoeft te zijn.

Stel je voor dat we een stad hebben met honderdduizend inwoners en dat er een gemene, verraderlijke ziekte heerst die Provid heet. Wetenschappers en onderzoekers zijn er echter in geslaagd een vaccin te maken dat tegen deze ziekte beschermt, en een deel van de inwoners is met dit vaccin gevaccineerd. Toch zien we in de gegevens dat er duizend gevaccineerden en duizend ongevaccineerden aan Provid zijn overleden. De inwoners zijn in de war en hebben het gevoel dat het vaccin niet werkt, omdat er evenveel gevaccineerden als ongevaccineerden overlijden. Werkt het vaccin dus wel of niet?

Dat is moeilijk te zeggen 🤷 alleen op basis van de gegevens die we tot nu toe hebben. Het is namelijk niet genoeg om te weten hoeveel gevaccineerden en ongevaccineerden aan Provid zijn overleden. We moeten ook weten hoeveel mensen zich daadwerkelijk hebben laten vaccineren. Ik zou je namelijk kunnen vragen: wat is gevaarlijker? Autorijden of de Mount Everest beklimmen? De sterftecijfers spreken duidelijke taal: bij pogingen om de Everest te beklimmen zijn honderden mensen omgekomen. In het verkeer komen meer dan een miljoen mensen om het leven. Per jaar. Het is dus duidelijk dat het veiliger is om te proberen de Everest te beklimmen dan in een rijdende doodskist te stappen.

Nu gaat er bij iedereen vast een lampje branden: in werkelijkheid is het niet veiliger om de Everest te beklimmen dan om auto te rijden. De getallen houden ons voor de gek, omdat we geen rekening hebben gehouden met het feit dat er duizenden bergbeklimmers naar de Everest zijn getrokken, terwijl er miljarden mensen in een auto rijden. Op dezelfde manier moeten we er rekening mee houden hoeveel mensen in onze denkbeeldige stad gevaccineerd zijn. Laten we het aan de hand van een paar voorbeelden uitzoeken:

• Wat als we in de stad maar duizend mensen hebben gevaccineerd en 99 000 mensen ongevaccineerd zijn? Dan zou elke gevaccineerde zijn overleden. Terwijl van de 99 000 ongevaccineerden er maar duizend zijn overleden. Het vaccin zou dus niet alleen niet helpen, maar zelfs schaden!
• Wat als het andersom was en er in de stad 99 000 gevaccineerden waren en maar duizend ongevaccineerden? Elke ongevaccineerde zou dan zijn overleden, terwijl van de gevaccineerden er maar duizend van de 99 000 zouden zijn overleden. Het vaccin is dan weliswaar niet 100% effectief, maar vergroot de kans om te overleven zichtbaar met een orde van grootte.
• Wat als de helft van de stad was gevaccineerd en de andere helft niet? Dan zou dat betekenen dat er duizend van de 50 000 gevaccineerden zijn overleden en duizend van de 50 000 ongevaccineerden. In beide groepen is 2% van de inwoners overleden, dus het vaccin heeft geen enkel effect, noch een positief, noch een negatief.

Wat is de effectiviteit van een vaccin?

Goed, hoe kunnen we de effectiviteit van een vaccin dan berekenen? We zeggen dat de effectiviteit van een vaccin het aandeel mensen is dat door het vaccin van de dood is gered. Stel bijvoorbeeld dat er duizend ongevaccineerden aan de ziekte zijn overleden, terwijl er in een alternatieve werkelijkheid, waarin we diezelfde duizend mensen hadden gevaccineerd, maar 300 zijn overleden en 700 het hebben overleefd. In dat geval heeft het vaccin 700 van de 1000 mensen gered en is de effectiviteit van dit vaccin 70%. Als er niemand was overleden, zou de effectiviteit 100% zijn, als iedereen was overleden, zou de effectiviteit 0% zijn.

Maar we hebben geen twee parallelle universums waarin we iemand in het ene vaccineren en dezelfde persoon in het andere niet. De effectiviteit moeten we dus op een andere manier berekenen. Laten we teruggaan naar onze stad met honderdduizend inwoners. We voegen de ontbrekende informatie toe: stel dat we 90 000 mensen hebben gevaccineerd. Dat zijn gegevens die we ook in de echte wereld kunnen verzamelen. Wat is de effectiviteit van het vaccin? Eerst berekenen we het aandeel overledenen in elke groep, dus hoeveel procent van de gevaccineerden en van de ongevaccineerden is overleden:

• Er is duizend van de 10 000 ongevaccineerden overleden, dat is 10%. We noteren dit als S_O = 10% (sterfte onder ongevaccineerden).
• Er is duizend van de 90 000 gevaccineerden overleden, dat is ongeveer 1,11%. We noteren dit als S_V = 1,11% (sterfte onder gevaccineerden).

We zien dat er 1,11% van de gevaccineerden is overleden, terwijl er 10% van de ongevaccineerden is overleden. De effectiviteit E berekenen we met de formule

$$E=\frac{S_O-S_V}{S_O}\cdot 100\mathrm{\%}$$

Invullen geeft

$$E=\frac{10-1,11}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{8,89}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\mathrm{0,889}\cdot 100\mathrm{\%}=88,9\mathrm{\%}.$$

De effectiviteit van ons vaccin is dus 88,9%. Het vaccin heeft dus 88,9% van de mensen gered die anders zouden zijn overleden. We kunnen dat ook narekenen: in de groep van de ongevaccineerden is 10% van de mensen overleden. Als we die 90 000 mensen ook niet hadden gevaccineerd, was van hen dezelfde 10% overleden, dat zijn 9000 mensen. Omdat het vaccin een effectiviteit van 88,9% heeft, hebben 88,9% van deze 9000 mensen het dankzij het vaccin overleefd, dat is 88,9% van 9000, precies 8000, en dan blijft er 11,1% over van de mensen die helaas toch zijn overleden. Dat is die duizend doden uit de opgave.

We zien dat dit vaccin ons een veel grotere kans geeft om te overleven, maar je kunt niet zeggen dat we na de vaccinatie 100% zekerheid hebben dat we niet aan de ziekte overlijden.

Hoe meer gevaccineerden, hoe meer gevaccineerde doden

Dit leidt trouwens tot een interessante paradox. Stel dat we met ons vaccin met een effectiviteit van 88,9% nog eens 5000 andere mensen in de stad vaccineren, zodat we op 95 000 gevaccineerden uitkomen en maar vijfduizend ongevaccineerden. Dan geldt dat

• van de 5000 ongevaccineerden er 10% overlijdt, dus 500.
• van de 95 000 gevaccineerden er 1,11% overlijdt, dus ongeveer 1055.

‼️‼️‼️ SCHOK ‼️‼️‼️ Er overlijden veel meer gevaccineerden dan ongevaccineerden. Dat komt echter puur doordat er veel meer gevaccineerden dan ongevaccineerden zijn. Je kunt het ook zo zeggen: terwijl er in de stad 19 keer zoveel gevaccineerden als ongevaccineerden zijn, hebben we maar twee keer zoveel gevaccineerde als ongevaccineerde doden.

En vooral: het totale aantal doden is gedaald. Nu hebben we 500 + 1055 = 1555 doden, terwijl we in het vorige voorbeeld 1000 + 1000 = 2000 doden hadden.

Verschillende waarden van de effectiviteit

Laten we een paar interessante waarden van de effectiviteit bekijken:

• Een effectiviteit van 100% krijgen we als S_V gelijk is aan nul (geen enkele gevaccineerde is overleden), terwijl de ongevaccineerden wel overlijden. De effectiviteit van een vaccin kan niet groter zijn dan 100%.
• Een effectiviteit van 0% krijgen we als S_O = S_V (als er procentueel evenveel gevaccineerden als ongevaccineerden overlijden). Dat zou betekenen dat het vaccin geen enkel effect heeft.
• Een negatieve effectiviteit krijgen we als S_V groter is dan S_O, dus als er procentueel meer gevaccineerden dan ongevaccineerden overlijden. Het vaccin zou in dat geval schaden.

Een vaccin met een effectiviteit van rond de 83% kun je je zo voorstellen: als je ziek zou worden en je zou het ongeluk hebben dat juist jou de ziekte te pakken neemt, dan geeft de vaccinatie je nog extra bescherming. Je kunt met een dobbelsteen gooien en als je één tot en met vijf gooit, redt de vaccinatie je, en als je zes gooit, overlijd je alsnog aan de ziekte.

Pas op voor verschillende groepen mensen

Let op: bij het berekenen van de effectiviteit van een vaccin is het niet verstandig om blind de formule te volgen die ik hierboven heb gegeven. Om hem toe te passen is het goed om te weten hoe de ziekte zich gedraagt en wat onze vaccinatiestrategie is. Ziekten zijn verschillend, ze treffen verschillende groepen mensen en net zo hebben verschillende groepen mensen een verschillende vaccinatiegraad. Als een ziekte alleen vrouwen treft, maakt het ons niet uit hoe hoog de vaccinatiegraad van mannen is. Als een ziekte oudere leeftijdsgroepen treft, maakt het ons niet uit hoe hoog de vaccinatiegraad van jongere leeftijdsgroepen is en kunnen we de effectiviteit beter berekenen met kennis van de vaccinatiegraad van de oudere leeftijdsgroepen.

Net zo kunnen we bij vaccins verschillende soorten bescherming meten. In het hele artikel hebben we morbide meteen over de dood geschreven, maar bij vaccins kunnen we ook meten hoe sterk het vaccin de kans verkleint (of vergroot…) dat we ziek worden, dat we de ziekte verder verspreiden of bijvoorbeeld dat we in het ziekenhuis moeten worden opgenomen.