Hogyan számoljuk ki az oltás hatékonyságát?

Hogyan lehetséges, hogy egy adott betegségben több beoltott ember halhat meg, mint oltatlan? Ez paradoxonnak hangzik, sőt, kicsit úgy hangzik, mintha az oltás nem működne – vagy egyenesen ártana –, de megmutatjuk, hogy ez nem feltétlenül igaz.

Képzeld el, hogy van egy város, amelyben százezer ember él, és a városban egy gonosz, alattomos betegség, a Provid tombol. A tudósok és kutatók azonban kifejlesztettek egy vakcinát, amely védelmet nyújt e betegség ellen, és a lakosság egy részét be is oltották vele. Mégis, ha megnézzük az adatokat, a Providban ezer beoltott és ezer oltatlan ember halt meg. A lakók zavartak, és úgy érzik, hogy az oltás nem működik, ha ugyanannyi beoltott hal meg, mint oltatlan. Működik hát a vakcina, vagy nem?

Nehéz megmondani 🤷 pusztán azokból az adatokból, amelyek eddig a rendelkezésünkre állnak. Nem elég ugyanis tudnunk, hogy hány beoltott és hány oltatlan ember halt meg Providban. Azt is tudnunk kell, hogy valójában hányan oltatták be magukat. Megkérdezhetném tőled ugyanis: mi a veszélyesebb? Autóval utazni, vagy megmászni a Mount Everestet? A halálesetek száma egyértelműen beszél: az Everest megmászására tett kísérlet során emberek százai haltak meg. Autóban több mint egymillió ember hal meg. Évente. Nyilvánvaló tehát, hogy biztonságosabb megpróbálni megmászni az Everestet, mint beülni egy guruló koporsóba.

Most mindenkinek felgyullad a vészlámpa a fejében – valójában nem biztonságosabb az Everestet mászni, mint autót vezetni. A számok azért tévesztenek meg minket, mert nem vettük figyelembe, hogy míg az Everestre több ezer hegymászó jutott fel, autóban emberek milliárdjai utaznak. Hasonlóképpen figyelembe kell vennünk azt is, hogy a képzeletbeli városunkban hányan vannak beoltva. Nézzünk meg néhány példát:

• Mi van, ha a városban csak ezer embert oltottunk be, és 99 ezer ember oltatlan? Ez azt jelentené, hogy minden beoltott meghalt. Ezzel szemben a 99 ezer oltatlanból csak ezer halt meg. A vakcina tehát nemhogy nem segítene, hanem ártana!
• Mi van, ha fordítva lenne, és a városban 99 ezer beoltott és csak ezer oltatlan lenne? Minden oltatlan tehát meghalt, a beoltottak közül viszont a 99 ezerből csak ezer. A vakcina ugyan nem 100%-os, de látható, hogy nagyságrendekkel növeli a túlélés esélyét.
• Mi van, ha a város fele be van oltva, a másik fele pedig nem? Akkor az ötvenezer beoltottból ezer halt meg, és az ötvenezer oltatlanból is ezer. Mindkét csoportban a lakosok két százaléka halt meg – ez azt jelenti, hogy a vakcinának nincs hatása, sem pozitív, sem negatív.

Mi a vakcina hatékonysága

Rendben, hogyan számoljuk ki tehát a vakcina hatékonyságát? Azt mondjuk, hogy a vakcina hatékonysága azoknak az embereknek az aránya, akiket a vakcina megmentett a haláltól. Például tegyük fel, hogy a betegségben ezer oltatlan ember halt meg, miközben egy alternatív valóságban, ahol ugyanezt az ezer embert beoltottuk volna, csak 300 halt volna meg, és 700 életben maradt volna. Ebben az esetben a vakcina az 1000 emberből 700-at mentett meg, így a vakcina hatékonysága 70% lenne. Ha senki sem halna meg, a hatékonyság 100% lenne, ha mindenki meghalna, a hatékonyság 0% lenne.

Jó, de nincs két párhuzamos univerzumunk, amelyek közül az egyikben beoltanánk valakit, a másikban pedig ugyanazt az embert nem. A hatékonyságot tehát másképp kell kiszámolnunk. Térjünk vissza a százezer lakosú kisvárosunkhoz. Egészítsük ki a hiányzó információt – tegyük fel, hogy 90 ezer embert beoltottunk. Ezek olyan adatok, amelyeket a valós világban is össze tudunk gyűjteni. Mekkora a vakcina hatékonysága? Először kiszámoljuk a halálesetek arányát mindkét csoportban, vagyis azt, hogy a beoltottak és az oltatlanok hány százaléka halt meg:

• A 10 ezer oltatlanból ezer halt meg, ez 10%. Jelöljük ezt így: O = 10% (oltatlanok).
• A 90 ezer beoltottból ezer halt meg, ez nagyjából 1,11%. Jelöljük ezt így: B = 1,11% (beoltottak).

Látjuk, hogy a beoltottak 1,11%-a halt meg, az oltatlanoknak viszont 10%-a. A H hatékonyságot a következő képlettel számoljuk ki:

$$H=\frac{O-B}{O}\cdot 100\mathrm{\%}$$

Behelyettesítés után

$$H=\frac{10-1,11}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\frac{8,89}{10}\cdot 100\mathrm{\%}=\mathrm{0,889}\cdot 100\mathrm{\%}=88,9\mathrm{\%}.$$

A vakcinánk hatékonysága 88,9%. Vagyis a vakcina megmentette azoknak az embereknek a 88,9%-át, akik egyébként meghaltak volna. Ezt egyébként ki is számolhatjuk: az oltatlanok csoportjában az emberek 10%-a halt meg. Ha a 90 ezer embert sem oltottuk volna be, ugyanúgy tíz százalékuk halt volna meg, ami 9000 ember. Mivel a vakcina hatékonysága 88,9%, e 9000 ember 88,9%-a végül a vakcinának köszönhetően életben maradt, vagyis a 9000 ember 88,9%-a éppen 8000, és marad 11,1%, akik sajnos így is meghaltak – ez a feladatban szereplő ezer halott.

Látjuk, hogy ez a vakcina sokkal nagyobb túlélési esélyt ad, de nem mondhatjuk, hogy az oltás után 100%-os biztonsággal nem halunk meg a betegségben.

Minél több a beoltott, annál több a halott beoltott

Mellesleg ez egy érdekes paradoxonhoz vezet. Képzeljük el, hogy ezzel a 88,9%-os hatékonyságú vakcinánkkal még további 5000 embert beoltunk a városban, vagyis 95 ezer beoltottunk és csak ötezer oltatlanunk lesz. Ekkor igaz lesz, hogy

• az 5000 oltatlanból 10% hal meg, tehát 500.
• a 95 ezer beoltottból 1,11% hal meg, tehát nagyjából 1055.

‼️‼️‼️ SOKK ‼️‼️‼️ A beoltottak közül sokkal többen halnak meg, mint az oltatlanok közül. Ez azonban pusztán annak köszönhető, hogy nagyságrendekkel több a beoltott, mint az oltatlan. Úgy is mondhatjuk, hogy míg a városban 19-szer több a beoltott, mint az oltatlan, a halott beoltottak száma csak kétszer akkora, mint a halott oltatlanoké.

És mindenekelőtt – a halottak teljes száma csökkent. Míg most 500 + 1055 = 1555 halottunk van, az előző példában 1000 + 1000 = 2000 halottunk volt.

A vakcina különböző hatékonyságai

Nézzünk meg néhány érdekes hatékonysági értéket:

• 100%-os hatékonyságot akkor kapnánk, ha B nulla lenne (egyetlen beoltott sem halt meg), az oltatlanok viszont meghalnának. A vakcina hatékonysága nem lehet nagyobb 100%-nál.
• 0%-os hatékonyságot akkor kapnánk, ha O = B (ha százalékosan ugyanannyi beoltott halna meg, mint oltatlan). Ez azt jelentené, hogy a vakcinának semmilyen hatása sincs.
• Negatív hatékonyságot akkor kapnánk, ha B nagyobb lenne, mint O, vagyis ha százalékosan több beoltott halna meg, mint oltatlan. A vakcina ebben az esetben ártana.

A körülbelül 83%-os hatékonyságú vakcinát úgy képzelheted el, hogy ha megbetegednél, és az a balszerencse érne, hogy éppen téged vinne el a betegség, az oltás még így is ad egy kiegészítő védelmet – dobhatsz egy dobókockával, és ha egytől ötig dobsz, az oltás megment, ha hatost dobsz, a betegség így is megöl.

Ügyelj a különböző csoportokra

Figyelj arra, hogy az oltás hatékonyságának kiszámításakor nem érdemes vakon követni a fentebb megadott képletet. Alkalmazásához jó tudni, hogyan viselkedik a betegség, és mi az oltási stratégiánk. A betegségek különbözőek, különböző csoportokat támadnak, és ugyanígy a különböző csoportok átoltottsága is különböző lesz. Ha egy betegség csak a nőket támadja, nem számít, mekkora a férfiak átoltottsága. Ha egy betegség az idősebb korosztályokat támadja, nem számít, mekkora a fiatalabb korosztályok átoltottsága, és jobb a hatékonyságot az idősebb korosztályok átoltottságának ismeretében kiszámolni.

Ugyanígy a vakcináknál különböző típusú védelmet mérhetünk. Az egész cikkben morbid módon rögtön a halálról írtunk, de a vakcináknál azt is mérhetjük, hogy a vakcina mennyire csökkenti (vagy növeli…) az esélyét annak, hogy megbetegszünk, hogy továbbadjuk a betegséget, vagy hogy kórházi ápolásra szorulunk.