Proprietà distributiva

La proprietà distributiva è una caratteristica di due operazioni binarie, come per esempio l’addizione e la moltiplicazione. Nel caso della moltiplicazione e dell’addizione, la proprietà distributiva ci dice che possiamo «eliminare le parentesi». Per esempio, se abbiamo l’espressione

$$2\cdot (3+4)$$

sappiamo che possiamo eliminare le parentesi, ottenendo un’altra espressione

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

Le due espressioni portano allo stesso risultato, il numero 14. Abbiamo potuto fare questo passaggio perché l’operazione di moltiplicazione è distributiva rispetto all’operazione di addizione nell’insieme dei numeri reali. In generale, se abbiamo due operazioni · e +, diciamo che l’operazione · è distributiva rispetto all’operazione + nell’insieme M se vale

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

per tutti gli a, b, c ∈ M. Un altro esempio di operazioni distributive sono le operazioni della logica proposizionale, la congiunzione ∧ e la disgiunzione ∨. Immaginiamo di avere le proposizioni A, B e C. Se diciamo «A e allo stesso tempo (B o C)», lo scriviamo come

$$A\wedge (B\vee C)$$

E poiché l’operazione di congiunzione è distributiva rispetto all’operazione di disgiunzione, vale anche

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Cioè, a parole: «(A e allo stesso tempo B) o (A e allo stesso tempo C)». Per avere anche un esempio di operazioni che non sono distributive, prendiamo per esempio l’addizione e la sottrazione:

$$10-(5+3)$$

Il risultato corretto è naturalmente 2, perché dopo aver sommato la parentesi otteniamo 10 − 8, che fa 2. Se applicassimo a questo calcolo la proprietà distributiva, otterremmo l’espressione:

$$(10-5)+(10-3)$$

Dopo aver sommato le parentesi avremmo 5 + 7, che fa 12. Vediamo che abbiamo ottenuto un risultato sbagliato: l’addizione e la sottrazione non sono quindi distributive.

Altri esempi: alcune operazioni con le matrici soddisfano la proprietà distributiva. Anche i vettori in uno spazio vettoriale. Le operazioni di un campo devono essere distributive.