Raccoglimento a fattor comune

Prima di occuparci del raccoglimento a fattor comune, vediamo come si eliminano le parentesi con la proprietà distributiva, perché i due argomenti sono strettamente legati. Si potrebbe addirittura dire che il raccoglimento è l’operazione esattamente opposta alla proprietà distributiva.

Applicare la proprietà distributiva

Applicare la proprietà distributiva è un’operazione semplice, che mostriamo con un esempio: calcoliamo l’espressione 3 · (5 + 8). Abbiamo due modi per procedere. Possiamo sommare i numeri tra parentesi e otteniamo 3 · 13, perché 5 + 8 = 13.

Il secondo modo è eliminare la parentesi applicando la proprietà distributiva. Questo significa che prendiamo il numero davanti alla parentesi, il tre, e con questo numero moltiplichiamo entrambi i numeri tra parentesi. Il segno più tra parentesi resta. Otteniamo così:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Entrambi i procedimenti portano allo stesso risultato: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Perché la proprietà distributiva funziona

Perché ci possiamo permettere questo procedimento, perché funziona? Immaginiamo il prodotto come una somma scritta per esteso. Se per esempio scriviamo 3 · 7, diciamo che vogliamo sommare il numero sette per tre volte, cioè 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Allo stesso modo possiamo scrivere per esteso un’espressione con la parentesi: 3 · (5 + 8) è la stessa cosa di (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Poiché nell’addizione l’ordine non conta, possiamo togliere le parentesi e mettere i cinque e gli otto uno accanto all’altro così: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. E qui vediamo già che questa espressione si può riscrivere con la moltiplicazione così: 3 · 5 + 3 · 8, che è proprio quello che abbiamo fatto eliminando la parentesi.

Esempi sulla proprietà distributiva

1. Sviluppa 5 · (4 + 7). Anche qui basta moltiplicare per cinque i numeri tra parentesi e otteniamo 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Sviluppa 6 · (x + 4). Non spaventiamoci per l’incognita e moltiplichiamola semplicemente per sei, come tutto il resto. Otteniamo: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Sviluppa x · (4 + 173). Ora abbiamo l’incognita davanti alla parentesi, quindi moltiplichiamo per x entrambi i numeri all’interno della parentesi. Otteniamo x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Sviluppa 4x · (2x + 7). Ora abbiamo l’incognita sia davanti alla parentesi sia dentro, e davanti alla parentesi c’è anche un’espressione più complicata. Non è un problema: moltiplichiamo il contenuto della parentesi per 4x così: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Raccoglimento semplice

Il raccoglimento a fattor comune è il procedimento opposto rispetto alla proprietà distributiva. All’inizio abbiamo per esempio l’espressione 10x + 5. Se ora troviamo un numero per cui possiamo dividere in modo sensato entrambi gli addendi, possiamo, come si dice, raccogliere questo numero. Nella nostra espressione sarà il numero 5, perché 10x / 5 = 2x e 5 / 5 = 1. Possiamo quindi scrivere che

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Se poi applichiamo di nuovo la proprietà distributiva alla parentesi 5 · (2x + 1), otteniamo di nuovo 10x + 5. Lo scopo del raccoglimento è di solito semplificare l’espressione data oppure portarla alla forma di un prodotto, per poterla semplificare in una frazione.

Raccogliere l’incognita

Spesso si raccoglie l’incognita stessa, non dobbiamo raccogliere solo un numero. Quindi se abbiamo l’espressione 3x² + 7x, possiamo raccogliere x, cioè dividiamo entrambi i termini per x, aggiungiamo la parentesi e moltiplichiamo la parentesi per x. Otteniamo 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Di solito cerchiamo di raccogliere il «massimo» possibile, quindi se avessimo l’espressione 8x² + 12x, potremmo raccogliere solo x e ottenere 8x² + 12x = x · (8x + 12), ma vediamo che dalla parentesi potremmo raccogliere ancora il numero 4. Possiamo farlo adesso, in un secondo momento, e otteniamo: x · (4 · (2x + 3)). Le parentesi esterne possiamo toglierle e otteniamo: 4x · (2x + 3).

Allo stesso risultato saremmo arrivati se dall’espressione iniziale 8x² + 12x avessimo raccolto direttamente 4x. Scrivendo i passaggi, otterremmo

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Raccogliere da espressioni più complicate

Finora abbiamo raccolto solo da espressioni con due addendi. Ma possiamo raccogliere anche da espressioni più lunghe. Per esempio da 7x³ + 5x² + 2x possiamo raccogliere x e otteniamo x · (7x² + 5x + 2).

Inoltre non dobbiamo raccogliere per forza un bel numero, possiamo raccogliere qualunque cosa. Per esempio dall’espressione 6x + 7 possiamo raccogliere il numero 2, ma otteniamo un risultato poco bello, perché dobbiamo dividere per due entrambi i termini. Per 6x va tutto bene, perché 6x / 2 = 3x, ma per il numero 7 non viene più tanto bene: 7 / 2 = 3,5. Otteniamo così l’espressione 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Esercizi svolti

• Raccogli in modo opportuno 25x + 45. A prima vista si vede che possiamo raccogliere il numero 5, quindi otteniamo 5 · (5x + 9).

• Semplifica la frazione

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Per prima cosa raccogliamo x al numeratore della frazione. Otteniamo così al numeratore x · (3x + 7). Ora possiamo semplificare x in tutta la frazione.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Raccogli in modo opportuno −2x² − 8x. Qui per la prima volta abbiamo dei numeri negativi. Non è affatto un problema: come abbiamo raccolto i numeri positivi, possiamo raccogliere quelli negativi. Possiamo quindi raccogliere subito −2x. Otteniamo

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$