Volumen und Flächeninhalt

Zuerst ganz kurz die Theorie, falls sie jemand nicht kennt. Der Umfang einer Figur ist die Summe der Längen aller ihrer Seiten und wird in Metern und davon abgeleiteten Einheiten angegeben. Der Umfang wird üblicherweise mit dem Buchstaben U bezeichnet. Der Flächeninhalt einer Figur ist die Größe der Fläche, die die Figur bildet. Er wird in Quadratmetern gemessen, mathematisch schreibt man den Quadratmeter mit einer Zwei im Exponenten: m². Der Flächeninhalt wird gewöhnlich mit dem Buchstaben A geschrieben. Das Volumen ist der Raum, den ein Körper einnimmt; einfach gesagt gibt es an, wie viel Wasser man hineingießen kann. Das Volumen wird in Kubikmetern und davon abgeleiteten Einheiten gemessen, und Raummaße schreibt man mit einer Drei im Exponenten: m³. Das Volumen wird gewöhnlich mit dem Buchstaben V geschrieben. Flächeninhalt und Volumen können wir auch in weiteren (und im Alltag wahrscheinlich gebräuchlicheren) Einheiten angeben, etwa Ar oder Hektar für den Flächeninhalt und Liter für das Volumen. Flächeninhalt oder Volumen lassen sich allgemein mit Integralen berechnen.

Quadrat und Rechteck

Beide Figuren sind zweidimensional, daher gibt es hier nur Umfang und Flächeninhalt. Beim Quadrat ist alles am einfachsten, denn ein Quadrat hat per Definition alle Seiten gleich lang. Wenn wir also den Umfang des Quadrats berechnen, genügt es, eine Seite des Quadrats zu nehmen und sie mit vier (der Anzahl der Seiten) zu multiplizieren: U=4a. Der Umfang des Rechtecks ist nur ein kleines bisschen komplizierter. Ein Rechteck hat immer je zwei gleich lange Seiten, also bieten sich zwei Wege an: Entweder addieren wir einfach alle Seiten, oder wir nehmen die Längen zweier verschiedener Seiten, multiplizieren sie mit zwei und addieren: U=2a+2b.

Der Flächeninhalt des Quadrats ist nicht komplizierter als sein Umfang. Du nimmst eine Seite und multiplizierst sie mit der anderen Seite. Da alle Seiten des Quadrats gleich lang sind, ergibt sich die Formel: A = a·a = a². Beim Rechteck funktioniert es völlig gleich wie beim Quadrat, nur dass das Rechteck nicht alle Seiten gleich lang hat und du deshalb zwei verschiedene, aufeinander senkrechte Seiten multiplizieren musst: A=a·b.

Parallelogramm

Das Parallelogramm ist eine Figur, die einem Rechteck ähnelt, aber zwei gegenüberliegende Seiten schräg hat, siehe die Abbildung unter diesem Absatz. Der Umfang des Parallelogramms ist einfach und im Wesentlichen derselbe wie beim Rechteck: U=2a+2b. Der Flächeninhalt ist dagegen schon etwas interessanter. Um den Flächeninhalt des Parallelogramms zu berechnen, müssen wir daraus ein Rechteck machen, sonst geht es nicht. Wie wir daraus ein Rechteck machen, zeigt die folgende Abbildung:

Zuerst schneiden wir den überstehenden Teil des Parallelogramms ab (der gefärbte Teil) und setzen ihn auf der anderen Seite des Parallelogramms wieder an, wodurch ein Rechteck entsteht:

Erst jetzt können wir den Flächeninhalt des Parallelogramms leicht berechnen, die Formel ist dieselbe wie beim Rechteck. Die grafische Umwandlung des Parallelogramms ist allerdings unbequem, deshalb verwendet man eine einfache Formel, die genau aus dieser Umwandlung hervorgeht. Die Seite a ist nämlich sowohl beim Rechteck als auch beim Parallelogramm gleich, nur die zweite Seite unterscheidet sich. Beim Parallelogramm rechnen wir also anstelle der Seite b mit der Höhe des Parallelogramms, die der Seite b im umgewandelten Rechteck entspricht. Übersichtlich zeigt das die folgende Abbildung (multiplizieren werden wir die rot hervorgehobenen Seiten):

Die Formel sieht so aus: A=h_a·a.

Trapez

Der Umfang ist klar, wir addieren alle Seiten. Der Flächeninhalt des Trapezes ist schon eine härtere Nuss. Theoretisch könnten wir genauso vorgehen wie beim Parallelogramm, wir wissen aber nicht, ob wir die längere Seite (AB) oder die kürzere Seite (CD) nehmen sollen.

Deshalb verwendet man einen Kniff – wir berechnen die durchschnittliche Länge der beiden parallelen Seiten und rechnen mit ihr weiter. Wir addieren also die Länge der Seite AB und der Seite CD, teilen durch zwei und rechnen dann genauso wie beim Parallelogramm – wir multiplizieren noch mit der Höhe und haben den Flächeninhalt. A=(a+c)/2 · h_a.

Dreieck

Das Dreieck ist eine zweidimensionale Figur, und als solche können wir bei ihm Umfang und Flächeninhalt berechnen; ein Volumen kann es nicht haben und hat es auch nicht. Den Umfang des Dreiecks berechnen wir, indem wir alle seine Seiten addieren. Die allgemeine Formel sieht also so aus: U=a+b+c. Natürlich gibt es auch Spezialfälle, zum Beispiel ist klar, dass ein gleichseitiges Dreieck alle Seiten gleich lang hat und es uns daher genügt, die Länge einer Seite zu kennen und sie mit drei zu multiplizieren. Dann sähe die Formel so aus: U'=3a.

Für den Flächeninhalt des Dreiecks brauchen wir eine kleine Umformung. Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, müssen wir daraus ein Parallelogramm machen (ähnlich wie wir aus dem Parallelogramm ein Rechteck gemacht haben). Wie man aus einem Dreieck ein Parallelogramm macht, zeigt uns wieder die folgende Zeichnung:

Aus dieser Abbildung sollte schon klar sein, wie man den Flächeninhalt des Dreiecks berechnet – du gehst genauso vor, als würdest du den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen, nur teilst du das Ergebnis durch zwei: A=(h_c·c)/2

Kreis

Der Kreis ist insofern eine besondere Figur, als sich bei ihm weder Umfang noch Flächeninhalt exakt als Dezimalzahl angeben lassen. Was auch immer wir mit dem Kreis berechnen wollen, wir kommen wohl nie ohne die Kreiszahl Pi – π – aus. Die Dezimaldarstellung von π ist unendlich, es handelt sich um eine irrationale Zahl, ihr Näherungswert, mit dem man üblicherweise rechnet (wenn du ihren Wert nicht im Taschenrechner gespeichert hast), ist 3,14.

Kommen wir nun zu den Formeln. Schon die Denker der Antike haben sich damit beschäftigt, wie man den Umfang des Kreises bzw. der Kreislinie berechnet (die Kreislinie ist nur die Linie, der Bogen, sie hat kein Inneres und deshalb auch keinen Flächeninhalt, während der Kreis einen Flächeninhalt hat, weil auch das Innere der Kreislinie mitgezählt wird). Man stellte fest, dass das Verhältnis des Umfangs des Kreises zu seinem Durchmesser (den man leicht messen kann) immer gleich ist, und mit der Zeit wurde auch berechnet, wie oft der Umfang des Kreises größer ist als sein Durchmesser. Und siehe da – es ist genau Pi mal. Den Umfang des Kreises berechnen wir also als U=π·d=2·π·r (häufiger wird die zweite, kompliziertere Formel angegeben, weil wir meistens eher den Radius als den Durchmesser kennen), wobei d der Durchmesser und r der Radius des Kreises ist.

Der Flächeninhalt des Kreises ist dann A=π·r², ich weiß nicht, was ich dazu noch sagen sollte :-).

Würfel und Quader

Das sind die ersten räumlichen Körper, bei ihnen bestimmen wir also Oberflächeninhalt und Volumen. Da der Würfel sechs Seitenflächen hat und alle Seitenflächen Quadrate sind, ist das Vorgehen klar: Du berechnest den Flächeninhalt einer Seitenfläche und multiplizierst ihn anschließend mit sechs. A_O=6a². Beim Quader ist es schon langwieriger, weil er mehrere verschiedene Seitenflächen hat. Im Grunde genügt es, den Flächeninhalt dreier verschiedener Seitenflächen zu berechnen, zu addieren und mit zwei zu multiplizieren, und du hast den Oberflächeninhalt des Quaders: A_O=(a·b + b·c + a·c)·2.

Das Volumen des Würfels berechnet sich genau wie der Flächeninhalt des Quadrats, nur mit dem kleinen Unterschied, dass wir nicht vergessen dürfen, dass wir uns im Raum befinden. Kurz gesagt genügt es, die Seitenlänge zu nehmen und sie in die dritte Potenz zu erheben: V=a³. Beim Quader ist es ähnlich, nur müssen wir die drei Seiten einzeln multiplizieren, weil sie unterschiedlich lang sind: V=a·b·c.

Kugel

Der Oberflächeninhalt der Kugel (= Kugeloberfläche) berechnet sich als A_O=4·π·r² und das Volumen der Kugel ist V=4/3·π·r³. Wenn du die ziemlich komplizierte Herleitung der Formel für das Volumen der Kugel lesen möchtest, schau dir das Prinzip von Cavalieri an.

Zylinder

Den Oberflächeninhalt des Zylinders berechnen wir als Summe der Flächeninhalte der beiden Grundflächen und der Mantelfläche. Die Grundfläche ist ein gewöhnlicher Kreis, ihr Flächeninhalt ist also gleich dem Flächeninhalt des Kreises, den Flächeninhalt einer Grundfläche berechnen wir daher so:

$$A_G=\pi \cdot r^2$$

Die Mantelfläche des Zylinders ist nichts anderes als ein „aufgerolltes“ Rechteck, bei dem die Länge einer Seite gleich der Höhe des Zylinders ist (wir bezeichnen sie mit h) und die andere gleich dem Umfang der Kreislinie an der Grundfläche. Der Flächeninhalt der Mantelfläche ist also gleich:

$$A_M=h\cdot 2\pi r$$

Der Oberflächeninhalt des ganzen Zylinders ist somit gleich:

$$A_O=2\cdot A_G+A_M=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

Das Volumen des Zylinders ist einfacher, es ist die Höhe multipliziert mit dem Flächeninhalt der Grundfläche. Den Flächeninhalt der Grundfläche haben wir im vorigen Schritt schon berechnet. Das Ergebnis:

$$V=h\cdot \pi r^2$$

Pyramide und Kegel

Der Oberflächeninhalt der Pyramide berechnet sich allgemein als Summe des Flächeninhalts der Grundfläche und der Flächeninhalte aller Seitenflächen. Eine allgemeine Formel dafür gibt es nicht wirklich. Das Volumen der Pyramide hat etwas mit der Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks gemeinsam – du nimmst den Flächeninhalt der Grundfläche und multiplizierst ihn mit der Höhe der Pyramide. Das Ergebnis teilst du anschließend durch drei und hast das Volumen der Pyramide. V=(A_G · h)/3, wobei A_G der Flächeninhalt der Grundfläche ist.

Die Oberfläche des geraden Kreiskegels ist gleich der Summe des Flächeninhalts der Grundfläche und der Mantelfläche. Der Flächeninhalt der Grundfläche ist klar, es handelt sich um einen gewöhnlichen Kreis, also A_G=π·r². Der Flächeninhalt der Mantelfläche ist etwas komplizierter, du musst dir vorstellen, dass du den Mantel auf dem Tisch „abrollst“, wodurch ein Kreissektor entsteht, dessen Flächeninhalt gleich ist: A_M=π·r·s, wobei s der Radius des Mantels ist (der Abstand der Spitze des Kegels vom Rand der Grundfläche, im Grunde etwas Ähnliches wie eine Kante bei der Pyramide). Das Volumen des Kegels ist V=(π · r² · h)/3, wobei h die Höhe des Kegels ist.

Beispiel zu Flächeninhalten

Berechne den Flächeninhalt der folgenden Figur (nimm an, dass die Maße auf der Achse in Metern angegeben sind):

Auf den ersten Blick sehen wir, dass diese Figur ein allgemeines Vieleck ist, auf das wir als Ganzes keine Formel anwenden können. Wir müssen es also in kleinere Teile zerlegen, die wir schon berechnen können. Am günstigsten ist es, aus dem unteren Teil ein Dreieck und aus dem oberen Teil ein Trapez zu machen. Die Zerlegung zeigt die folgende Abbildung:

Jetzt berechnen wir den Flächeninhalt des Dreiecks ABE nach der Formel A=(a · h_a)/2. Die Seite a ist in diesem Fall die Seite AE und die Höhe auf diese Seite ist die Seite EB. Wir sehen, dass |AE|=3 m und |EB|=1 m. Einsetzen in die Formel ergibt: A=(3 · 1)/2=1,5 m².

Im zweiten Schritt berechnen wir den Flächeninhalt des Trapezes, und zwar nach der Formel A=(a+c)/2 · h_a. Die Seite a ist in unserem Fall die Seite AE und die Seite c die Seite DC. Die Höhe können wir wieder leicht aus der Abbildung ablesen, es ist die Länge der Strecke EC. Einsetzen in die Formel ergibt: A=(3+2)/2 · 2=5 m².

Die beiden vorherigen Teilergebnisse addieren wir einfach und haben den gesuchten Flächeninhalt der Figur. A=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Berechne den Flächeninhalt der folgenden Figur (nimm an, dass die Maße auf der Achse in Metern angegeben sind):

Wahrscheinlich ist wieder auf den ersten Blick klar, dass uns eine einzige Formel nicht reichen wird und wir die Figur irgendwie umformen müssen. Wir rechnen folgendermaßen: Wir berechnen den Flächeninhalt des „Quadrats“, addieren dazu drei Viertel des Flächeninhalts eines Kreises und subtrahieren das kleine Dreieck links unten:

Den Flächeninhalt des Quadrats berechnen wir einfach: A₁ = 2 · 2 = 4 m². Im zweiten Schritt berechnen wir den Flächeninhalt des Kreises. Wieder setzen wir nur in die Formel ein und rechnen A₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Es bleibt nur noch, den Flächeninhalt des Dreiecks DEI zu berechnen und vom Flächeninhalt des Quadrats abzuziehen. Die Seite EI und ihre Höhe DI haben beide die Länge 1 m, der Flächeninhalt des Dreiecks ist also A₃ = ½.

Im letzten Schritt addieren und subtrahieren wir die Teilergebnisse: A = A₁ + A₂ − A₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².