円柱の表面積

円柱の表面積は、円柱を囲んでいるすべての面の面積の合計です。円柱の体積と混同しないように注意しましょう。体積は「円柱に水が何リットル入るか」を表します。まず、円柱がどんな形かを見てみましょう。

公式

先に公式だけを示します。底面の半径が r、高さが h の円柱の表面積は、次の式で求められます。

$$S=2\cdot \pi \cdot r^2+2\cdot \pi \cdot r\cdot h$$

計算ツール：円柱の表面積

公式の導き方

円柱には底面が2つあります。上と下にある2つの円です。さらに、円柱には側面があります。側面は2つの底面の「あいだ」にある面です。円柱の表面積を求めるには、2つの底面の面積と側面積を求めて、それらをたします。底面は円なので、円の面積の公式を使います。

$$S_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

ここで、r は底面の半径です。図では、横の破線で示した線分です。例えば r = 6 なら、底面積は次のようになります。

$$S_{\circ }=\pi \cdot 6^2=36\pi$$

次に、側面積を求めます。側面は、長方形を「丸めた」ものと考えられます。長方形の一方の辺の長さは円柱の高さ h と等しく、図では縦の破線で示した線分です。もう一方の辺は、側面を「開く」と、底面の円周と同じ長さになります。そこで、まず底面の円周の長さを求めます。円周の長さの公式は次のとおりです。

$$l=2\cdot \pi \cdot r$$

代入すると、次のようになります。

$$l=2\cdot \pi \cdot 6=12\pi$$

底面の円周の長さは 12π です。長方形の面積を $S_{◻}$ とすると、2つの辺の長さをかけるだけで求められます。

$$S_{◻}=12\pi \cdot h$$

例えば、円柱の高さが h = 10 なら、次のようになります。

$$S_{◻}=12\pi \cdot 10=120\pi$$

円柱全体の表面積を S とすると、これまでの結果をすべてたして求められます（円柱には底面が2つあることを忘れないようにしましょう）。

$$S=S_{\circ }+S_{◻}+S_{\circ }$$

代入すると、次のようになります。

$$S=36\pi +120\pi +36\pi =192\pi$$

答えに定数 π が残るのが気になる場合は、π の代わりに近似値 3.14 を代入すると、表面積の近似値が得られます。

$$S\fallingdotseq 192\cdot 3.14=602.88$$