Perimetri, aree e volumi

Prima di tutto, in breve, un po’ di teoria, nel caso qualcuno non la ricordasse. Il perimetro di una figura è la somma delle lunghezze di tutti i suoi lati e si esprime in metri e nei suoi multipli e sottomultipli. Di solito il perimetro si indica con 2p (dove p è il semiperimetro). L’area di una figura è la misura della superficie che la figura occupa, si calcola in metri quadrati e il metro quadrato si scrive in matematica con un 2 ad esponente: m². L’area si indica comunemente con la lettera A. Il volume è lo spazio occupato da un solido; detto in modo semplice, esprime quanta acqua ci puoi versare dentro. Il volume si calcola in metri cubi e nei suoi multipli e sottomultipli, e le misure dello spazio si scrivono con un 3 ad esponente: m³. Il volume si indica comunemente con la lettera V. Area e volume si possono esprimere anche in altre unità (e probabilmente più usate nella vita di tutti i giorni), come l’ara o l’ettaro per l’area e il litro per il volume. In generale, area e volume si possono calcolare con gli integrali.

Quadrato e rettangolo

Entrambe le figure sono bidimensionali, quindi qui troviamo solo il perimetro e l’area. Il caso più semplice è quello del quadrato, perché per definizione ha tutti i lati uguali. Per calcolare il perimetro del quadrato basta quindi prendere un lato e moltiplicarlo per quattro (il numero dei lati): 2p=4a. Il perimetro del rettangolo è appena un po’ più complicato. Il rettangolo ha sempre due coppie di lati uguali, quindi ci sono due strade: o sommare semplicemente tutti i lati, oppure prendere le lunghezze di due lati diversi, moltiplicarle per due e sommare: 2p=2a+2b.

L’area del quadrato non è più complicata del suo perimetro. Prendi un lato e lo moltiplichi per l’altro. Poiché il quadrato ha tutti i lati uguali, otteniamo la formula A = a·a = a². Il rettangolo funziona esattamente come il quadrato, con la sola differenza che non ha tutti i lati uguali, e quindi devi moltiplicare due lati diversi, perpendicolari tra loro: A=a·b.

Parallelogramma

Il parallelogramma è una figura simile al rettangolo, ma con due lati opposti inclinati, come si vede nella figura sotto questo paragrafo. Il perimetro del parallelogramma è semplice e in sostanza uguale a quello del rettangolo: 2p=2a+2b; l’area, invece, è un po’ più interessante. Per calcolare l’area del parallelogramma dobbiamo trasformarlo in un rettangolo, altrimenti non si può fare. La figura seguente ci mostra come:

Per prima cosa tagliamo la parte in eccesso del parallelogramma (la parte colorata) e la spostiamo dall’altra parte, e così otteniamo un rettangolo:

Ora possiamo calcolare facilmente l’area del parallelogramma, con la stessa formula del rettangolo. Però trasformare graficamente il parallelogramma non è comodo, e allora si usa una formula semplice che nasce proprio da quella trasformazione. Il lato a è infatti identico sia nel rettangolo sia nel parallelogramma, cambia solo l’altro lato. Nel parallelogramma, al posto del lato b, useremo quindi l’altezza del parallelogramma, che è uguale al lato b del rettangolo ottenuto. La figura seguente lo mostra con chiarezza (moltiplicheremo i lati evidenziati in rosso):

La formula è questa: A=h_a·a.

Trapezio

Il perimetro è chiaro: sommiamo tutti i lati. L’area del trapezio è invece un rompicapo più difficile. In teoria potremmo procedere come per il parallelogramma, ma non sappiamo se prendere la base più lunga (AB) o quella più corta (CD).

Si usa allora un trucco: calcoliamo la lunghezza media delle due basi parallele e lavoriamo con quella. Sommiamo quindi le lunghezze dei lati AB e CD, dividiamo per due e poi procediamo come per il parallelogramma: moltiplichiamo per l’altezza e otteniamo l’area. A=(a+c)/2 · h_a.

Triangolo

Il triangolo è una figura bidimensionale e, come tale, possiamo calcolarne perimetro e area; non può avere un volume, e infatti non ce l’ha. Il perimetro del triangolo si calcola sommando tutti i suoi lati. La formula generale è dunque: 2p=a+b+c. Naturalmente possiamo trovare dei casi particolari: per esempio, è chiaro che il triangolo equilatero ha tutti i lati uguali, quindi ci basta conoscere la lunghezza di un lato e moltiplicarla per tre. La formula diventa allora: 2p=3a.

Per l’area del triangolo ci serve una piccola modifica. Per calcolarla dobbiamo trasformare il triangolo in un parallelogramma (come prima abbiamo trasformato il parallelogramma in un rettangolo). Come trasformare un triangolo in un parallelogramma ce lo mostra ancora una volta il disegno seguente:

Da questa figura dovrebbe già essere chiaro come calcolare l’area del triangolo: procedi come se calcolassi l’area di un parallelogramma, solo che il risultato lo dividi per due: A=(h_c·c)/2

Cerchio

Il cerchio è una figura particolare, perché né la lunghezza della circonferenza né l’area si possono scrivere esattamente con un numero decimale. Qualunque calcolo vogliamo fare con il cerchio, quasi sempre non possiamo fare a meno della costante pi greco – π. Lo sviluppo decimale di π è infinito, si tratta di un numero irrazionale, ma il suo valore approssimato, che di solito si usa nei calcoli (se non hai il valore memorizzato nella calcolatrice), è 3,14.

Passiamo ora alle formule. Già gli antichi studiosi si chiedevano come calcolare la lunghezza della circonferenza (la circonferenza è soltanto la linea, la curva: non ha un interno e quindi non ha area, mentre il cerchio ha un’area, perché comprende anche l’interno della circonferenza). Si scoprì che il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro (che si misura facilmente) è sempre lo stesso e, col tempo, si calcolò anche quante volte la circonferenza è più lunga del suo diametro. E, sorpresa, è proprio pi greco volte. La lunghezza della circonferenza si calcola quindi così: C=π·d=2·π·r (si usa più spesso la seconda formula, più complicata, perché di solito conosciamo il raggio piuttosto che il diametro), dove d è il diametro e r è il raggio del cerchio.

L’area del cerchio è poi A=π·r², non saprei cos’altro aggiungere :-).

Cubo e parallelepipedo rettangolo

Questi sono i primi solidi, e quindi ne determineremo l’area della superficie e il volume. Poiché il cubo ha sei facce e tutte le facce sono quadrati, il procedimento è chiaro: calcoli l’area di una faccia e la moltiplichi per sei. A_t=6a². Con il parallelepipedo rettangolo è più lungo, perché ha facce diverse. In sostanza basta calcolare l’area di tre facce diverse, sommarle e moltiplicare per due, e hai l’area della superficie del parallelepipedo: A_t=(a·b + b·c + a·c)·2.

Il volume del cubo si calcola esattamente come l’area del quadrato, con la piccola differenza che non dobbiamo dimenticare di trovarci nello spazio. Basta prendere la lunghezza dello spigolo ed elevarla alla terza: V=a³. Per il parallelepipedo rettangolo è simile, solo che dobbiamo moltiplicare tra loro i tre spigoli, perché hanno lunghezze diverse: V=a·b·c.

Sfera

L’area della superficie della sfera (= superficie sferica) si calcola come A_t=4·π·r² e il volume della sfera è V=4/3·π·r³. Se vuoi leggere la dimostrazione piuttosto complicata del calcolo del volume della sfera, dai un’occhiata al principio di Cavalieri.

Cilindro

L’area della superficie del cilindro si ottiene come somma delle aree delle due basi e dell’area della superficie laterale. La base è un normale cerchio, quindi l’area di una base è uguale all’area del cerchio, e si calcola così:

$$A_b=\pi \cdot r^2$$

La superficie laterale del cilindro non è altro che un rettangolo «arrotolato», in cui la lunghezza di un lato è uguale all’altezza del cilindro (la indichiamo con h) e l’altro è uguale alla lunghezza della circonferenza di base. Quindi l’area della superficie laterale è:

$$A_l=h\cdot 2\pi r$$

L’area della superficie totale del cilindro è dunque:

$$A_t=2\cdot A_b+A_l=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

Il volume del cilindro è più semplice: è l’altezza moltiplicata per l’area di base. L’area di base l’abbiamo già calcolata nel passaggio precedente. Il risultato:

$$V=h\cdot \pi r^2$$

Piramide e cono

L’area della superficie della piramide si calcola in generale come somma dell’area di base e delle aree di tutte le facce laterali. Una vera formula generale non esiste. Il volume della piramide ha qualcosa in comune con il calcolo dell’area del triangolo: prendi l’area di base e la moltiplichi per l’altezza della piramide. Il risultato lo dividi poi per tre e hai il volume della piramide. V=(A_b · h)/3, dove A_b è l’area di base.

La superficie del cono circolare retto è uguale alla somma dell’area di base e dell’area della superficie laterale. L’area di base è chiara: è un semplice cerchio, quindi A_b=π·r². L’area della superficie laterale è un po’ più complicata: devi immaginare di «srotolare» la superficie laterale sul tavolo, e così si forma una specie di settore circolare, la cui area è uguale a: A_l=π·r·a, dove a è il raggio del settore (la distanza del vertice del cono dal bordo della base, cioè l’apotema del cono, che è in sostanza qualcosa di simile allo spigolo laterale della piramide). Il volume del cono è V=(π · r² · h)/3, dove h è l’altezza del cono.

Esempio sul calcolo delle aree

Calcola l’area della figura seguente (supponi che le misure sugli assi siano in metri):

A prima vista capiamo che questa figura è un poligono qualsiasi, al quale nel suo insieme non possiamo applicare nessuna formula. Dobbiamo quindi dividerlo in parti più piccole, che sappiamo già calcolare. La soluzione più comoda è ricavare un triangolo dalla parte in basso e un trapezio da quella in alto. La divisione è mostrata nella figura seguente:

Ora calcoliamo l’area del triangolo ABE con la formula A=(a · h_a)/2. Come lato a prendiamo in questo caso il lato AE, e l’altezza relativa a questo lato è il segmento EB. Vediamo che |AE|=3 m e |EB|=1 m. Sostituendo nella formula otteniamo: A=(3 · 1)/2=1,5 m².

Nel secondo passaggio calcoliamo l’area del trapezio con la formula A=(a+c)/2 · h_a. Il lato a sarà nel nostro caso il lato AE e il lato c il lato DC. L’altezza si legge facilmente dalla figura: è la lunghezza del segmento EC. Sostituendo nella formula otteniamo: A=(3+2)/2 · 2=5 m².

I due risultati parziali si sommano e abbiamo l’area della figura. A=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Calcola l’area della figura seguente (supponi che le misure sugli assi siano in metri):

Anche stavolta è probabilmente evidente a prima vista che una sola formula non basterà e che dovremo modificare in qualche modo la figura. Procederemo così: calcoliamo l’area del «quadrato», aggiungiamo tre quarti dell’area del cerchio e sottraiamo il piccolo triangolo in basso a sinistra:

L’area del quadrato si calcola facilmente: A₁ = 2 · 2 = 4 m². Nel secondo passaggio calcoliamo l’area del cerchio. Anche qui basta sostituire nella formula e calcolare A₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Resta solo da calcolare l’area del triangolo DEI e sottrarla dall’area del quadrato. Il lato EI e l’altezza relativa DI hanno entrambi lunghezza 1 m, quindi l’area del triangolo sarà A₃ = ½.

Nell’ultimo passaggio sommiamo e sottraiamo i risultati parziali: A = A₁ + A₂ − A₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².