Volum og areal

Først helt kort om teorien, i tilfelle noen skulle være usikre. Omkretsen til en figur er summen av lengdene av alle sidene, og den uttrykkes i meter og avledede enheter. Omkretsen betegner vi vanligvis med bokstaven O. Arealet til en figur er størrelsen på flaten figuren danner, og det regnes i kvadratmeter. Matematisk uttrykker vi kvadratmeter med en toer i hevet skrift: m². Areal skriver vi vanligvis med bokstaven A. Volum er rommet som et legeme fyller, og enkelt sagt uttrykker det hvor mye vann du kan helle i det. Volum regnes i kubikkmeter og avledede enheter, og romlige mål skrives med en treer i hevet skrift: m³. Volum skriver vi vanligvis med bokstaven V. Areal og volum kan vi også uttrykke i andre enheter (som sannsynligvis brukes mer i dagliglivet), for eksempel dekar eller hektar for areal og liter for volum. For mer informasjon om enheter kan du se nettstedet jednotky.cz. Areal eller volum kan generelt regnes ut med integraler.

Kvadrat og rektangel

Begge figurene er todimensjonale, så her finner vi bare omkrets og areal. For kvadratet er alt enklest, for et kvadrat har per definisjon alle sidene like lange. Når vi regner ut omkretsen av et kvadrat, holder det derfor å ta én side av kvadratet og multiplisere den med fire (antall sider): O=4a. Omkretsen av et rektangel er bare litt mer komplisert. Et rektangel har alltid to og to like lange sider, så det er to veier å gå: Enten legger vi enkelt og greit sammen alle sidene, eller så tar vi lengdene av to ulike sider, multipliserer dem med to og legger dem sammen: O=2a+2b.

Arealet av et kvadrat er ikke noe vanskeligere enn omkretsen. Du tar én side og multipliserer den med en annen side. Siden alle sidene i et kvadrat er like lange, får vi formelen: A = a·a = a². Et rektangel fungerer helt likt som et kvadrat, bortsett fra at et rektangel ikke har alle sidene like lange, og derfor må du multiplisere to ulike sider som står vinkelrett på hverandre: A=a·b.

Parallellogram

Et parallellogram er en figur som ligner et rektangel, men har to motstående sider som er skråstilt, se figuren under dette avsnittet. Omkretsen av et parallellogram er enkel og i grunnen den samme som for et rektangel: O=2a+2b, men arealet er litt mer interessant. For å regne ut arealet av et parallellogram må vi gjøre det om til et rektangel, ellers går det ikke. Og hvordan vi gjør det om til et rektangel, viser følgende figur:

Først skjærer vi av den delen av parallellogrammet som stikker ut (den fargelagte delen) og setter den på den andre siden av parallellogrammet, og da får vi et rektangel:

Først nå kan vi enkelt regne ut arealet av parallellogrammet, og formelen blir den samme som for rektangelet. Men den grafiske omformingen av et parallellogram er ikke praktisk, så vi bruker en enkel formel som nettopp bygger på denne omformingen. Den ene siden, a, er nemlig den samme i både rektangelet og parallellogrammet, det er bare den andre siden som er forskjellig. For parallellogrammet regner vi derfor ikke med siden b, men med høyden i parallellogrammet, som er lik siden b i det omformede rektangelet. Følgende figur viser det oversiktlig (vi skal multiplisere de sidene som er framhevet med rødt):

Formelen ser slik ut: A=h_a·a.

Trapes

Omkretsen er klar, vi legger sammen alle sidene. Arealet av et trapes er en hardere nøtt. I teorien kunne vi gått fram på samme måte som for parallellogrammet, men vi vet ikke om vi skal ta den lengste (AB) eller den korteste (CD) siden.

Derfor bruker vi et knep – vi regner ut gjennomsnittslengden av de to parallelle sidene og regner med den. Vi legger altså sammen lengden av siden AB og CD, deler på to, og så regner vi som for parallellogrammet – vi multipliserer med høyden, og da har vi arealet. A=(a+c)/2 · h_a.

Trekant

Trekanten er en todimensjonal figur, og som sådan kan vi regne ut omkrets og areal, men den kan ikke ha volum, og har heller ikke det. Omkretsen av en trekant regner vi ut ved å legge sammen alle sidene. Den generelle formelen ser altså slik ut: O=a+b+c. Selvfølgelig kan vi finne spesialtilfeller, for eksempel er det klart at en likesidet trekant har alle sidene like lange, og da holder det å kjenne lengden av én side og multiplisere den med tre. Da ser formelen slik ut: O'=3a.

For arealet av en trekant trenger vi en liten omforming. For å regne ut arealet av en trekant må vi gjøre den om til et parallellogram (på samme måte som vi gjorde parallellogrammet om til et rektangel). Hvordan vi gjør en trekant om til et parallellogram, viser følgende tegning:

Av denne figuren bør det nå være klart hvordan vi regner ut arealet av en trekant – du går fram på samme måte som når du regner ut arealet av et parallellogram, bare at du deler resultatet på to: A=(h_c·c)/2

Sirkel

Sirkelen er en spesiell figur ved at verken omkretsen eller arealet kan skrives nøyaktig som et desimaltall. Uansett hva vi vil regne ut med en sirkel, kommer vi nesten aldri utenom konstanten pi – π. Desimalutviklingen til π er uendelig, det er et irrasjonalt tall, men den tilnærmede verdien som vanligvis brukes i regningen (hvis du ikke har verdien lagret i kalkulatoren), er 3,14.

La oss nå gå over til formlene. Allerede tenkere i oldtiden fant ut hvordan vi regner ut omkretsen av en sirkel, nærmere bestemt av sirkelperiferien (sirkelperiferien er bare selve linjen, buen, og har ikke noe indre og dermed heller ikke noe areal, mens sirkelflaten har areal, for den regnes med det indre av sirkelperiferien). Det viste seg at forholdet mellom diameteren i sirkelen (som er lett å måle) og omkretsen av sirkelen alltid er det samme, og etter hvert regnet man også ut hvor mange ganger større omkretsen er enn diameteren. Og forunderlig nok – det er nettopp pi ganger. Omkretsen av en sirkel regner vi altså ut slik: O=π·d=2·π·r (oftere oppgis den andre, mer kompliserte formelen, siden vi oftest kjenner radiusen heller enn diameteren), der d er diameteren og r er radiusen i sirkelen.

Arealet av en sirkel er så A=π·r², jeg vet ikke hva mer jeg skulle si om det :-).

Kube og rettvinklet prisme

Dette er de første romlige legemene, så her skal vi finne overflate og volum. Siden en kube har seks sideflater og alle sideflatene er kvadrater, er framgangsmåten klar: Du regner ut arealet av én sideflate og multipliserer det med seks. O=6a². For et rettvinklet prisme er det mer omstendelig, for det har flere ulike sideflater. Det holder i grunnen å regne ut arealet av tre ulike sideflater, legge dem sammen og multiplisere med to, og så har du overflaten av det rettvinklede prismet: O=(a·b + b·c + a·c)·2.

Volumet av en kube regnes ut nøyaktig som arealet av et kvadrat, bare med den lille forskjellen at vi ikke må glemme at vi er i rommet. Vi tar rett og slett sidelengden og opphøyer den i tredje: V=a³. For et rettvinklet prisme er det likt, bare at vi må multiplisere de tre sidene hver for seg, siden de er ulikt lange: V=a·b·c.

Kule

Overflaten av en kule (= kuleflaten) regnes ut slik: O=4·π·r², og volumet av en kule er V=4/3·π·r³. Hvis du vil lese en ganske komplisert utledning av volumet av en kule, kan du se på Cavalieris prinsipp. Utledningen av størrelsen på overflaten av en kule finner du for eksempel på matweb-forumet.

Sylinder

Overflaten av en sylinder regner vi ut som summen av arealene av de to grunnflatene og arealet av mantelflaten. Grunnflaten er en vanlig sirkel, så arealet av én grunnflate er lik arealet av en sirkel, altså regner vi ut arealet av én grunnflate slik:

$$G=\pi \cdot r^2$$

Mantelflaten til sylinderen er ikke noe annet enn et «rullet sammen» rektangel, der lengden av den ene siden er lik høyden i sylinderen (vi kaller den h), og den andre er lik omkretsen av sirkelen i grunnflaten. Arealet av mantelflaten er altså lik:

$$M=h\cdot 2\pi r$$

Overflaten av hele sylinderen er altså lik:

$$O=2\cdot G+M=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

Volumet av en sylinder er enklere, det er høyden multiplisert med arealet av grunnflaten. Arealet av grunnflaten har vi allerede regnet ut i forrige steg. Resultatet:

$$V=h\cdot \pi r^2$$

Pyramide og kjegle

Overflaten av en pyramide regnes generelt ut som summen av arealet av grunnflaten og arealene av alle sideflatene. Det finnes ikke noen særlig generell formel for det. Volumet av en pyramide har noe til felles med utregningen av arealet av en trekant – du tar arealet av grunnflaten og multipliserer det med høyden til pyramiden. Resultatet deler du på tre, og så har du volumet av pyramiden. V=(G · h)/3, der G er arealet av grunnflaten.

Overflaten av en rett kjegle er lik summen av arealet av grunnflaten og arealet av mantelflaten. Arealet av grunnflaten er klart, det er en vanlig sirkel, altså G=π·r². Arealet av mantelflaten er litt mer komplisert, du må forestille deg at du «ruller ut» mantelflaten på et bord, og da får du en slags sirkelsektor med areal: M=π·r·s, der s er sidekanten i kjeglen (avstanden fra toppunktet av kjeglen til randen av grunnflaten, i grunnen noe liknende som en sidekant i en pyramide). Volumet av en kjegle er V=(π · r² · h)/3, der h er høyden i kjeglen.

Eksempel på areal

Regn ut arealet av følgende figur (anta at målene på aksen er i meter):

Ved første øyekast ser vi at denne figuren er en slags vilkårlig mangekant som vi ikke kan bruke noen formel på som helhet. Vi må altså dele den opp i mindre deler som vi allerede kan regne ut. Det enkleste blir å lage en trekant av den nederste delen og et trapes av den øverste delen. Oppdelingen viser følgende figur:

Nå regner vi ut arealet av trekanten ABE etter formelen A=(g · h)/2. Grunnlinjen g blir i dette tilfellet siden AE, og høyden på denne siden blir siden EB. Vi ser at |AE|=3 m og |EB|=1 m. Når vi setter inn i formelen, får vi: A=(3 · 1)/2=1,5 m².

I det andre steget regner vi ut arealet av trapeset, og det etter formelen A=(a+c)/2 · h_a. Siden a blir i vårt tilfelle siden AE og siden c siden DC. Høyden leser vi lett av figuren igjen, det er lengden av linjestykket EC. Når vi setter inn i formelen, får vi: A=(3+2)/2 · 2=5 m².

De to foregående delresultatene legger vi bare sammen, og så har vi arealet av figuren. A=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Regn ut arealet av følgende figur (anta at målene på aksen er i meter):

Det er nok igjen synlig ved første øyekast at én formel ikke holder for oss, og at vi må bearbeide figuren på en eller annen måte. Vi regner det ut på følgende måte: Vi regner ut arealet av «kvadratet», legger til tre fjerdedeler av arealet av sirkelen og trekker fra den lille trekanten nede til venstre:

Arealet av kvadratet regner vi enkelt ut: A₁ = 2 · 2 = 4 m². I det andre steget regner vi ut arealet av sirkelen. Igjen setter vi bare inn i formelen og regner ut A₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Da gjenstår det bare å regne ut arealet av trekanten DEI og trekke det fra arealet av kvadratet. Siden EI og høyden DI på den har samme lengde 1 m, blir arealet av trekanten A₃ = ½.

I det siste steget legger vi sammen og trekker fra delresultatene: A = A₁ + A₂ − A₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².