Rumfang og arealer

Først helt kort lidt teori, hvis nogen skulle være i tvivl. Omkredsen af en figur er summen af længderne af alle dens sider og angives i meter og afledte enheder. Omkredsen betegnes som regel med bogstavet O. Arealet af en figur er størrelsen af den flade, som figuren udgør. Det beregnes i kvadratmeter, og matematisk skriver vi kvadratmeter med tallet 2 i hævet skrift: m². Arealet skrives almindeligvis med bogstavet A. Rumfanget er det rum, som et legeme udgør. Helt enkelt udtrykker det, hvor meget vand man kan hælde i det. Rumfanget beregnes i kubikmeter og afledte enheder, og rummål skrives med tallet 3 i hævet skrift: m³. Rumfanget skrives almindeligvis med bogstavet V. Areal og rumfang kan vi også angive i andre enheder (som nok bruges mere i hverdagen), for eksempel hektar for areal og liter for rumfang. Areal eller rumfang kan man generelt beregne med integraler.

Kvadrat og rektangel

Begge figurer er todimensionale, så her finder vi kun omkreds og areal. Det er enklest for kvadratet, fordi et kvadrat allerede pr. definition har alle sider lige lange. Når vi beregner omkredsen af et kvadrat, er det derfor nok at tage én side af kvadratet og gange den med fire (antallet af sider): O=4a. Omkredsen af et rektangel er bare en anelse mere kompliceret. Et rektangel har altid to og to sider af samme længde, så der er to veje: enten lægger vi simpelthen alle siderne sammen, eller vi tager længderne af to forskellige sider, ganger dem med to og lægger dem sammen: O=2a+2b.

Arealet af et kvadrat er ikke spor mere kompliceret end omkredsen. Du tager den ene side og ganger med den anden side. Fordi alle sider i et kvadrat er lige lange, får vi formlen: A = a·a = a². Et rektangel fungerer helt på samme måde som et kvadrat, bortset fra at et rektangel ikke har alle sider lige lange, og derfor skal du gange to forskellige sider, som står vinkelret på hinanden: A=a·b.

Parallelogram

Et parallelogram er en figur, der ligner et rektangel, men har to modstående sider skråtstillede, se figuren under dette afsnit. Omkredsen af et parallelogram er enkel og i princippet den samme som for et rektangel: O=2a+2b, men arealet er lidt mere interessant. For at beregne arealet af et parallelogram må vi gøre det til et rektangel, ellers går det ikke. Og hvordan vi gør det til et rektangel, viser den følgende figur:

Først skærer vi den overskydende del af parallelogrammet af (den farvede del) og sætter den på parallelogrammets anden side, så der opstår et rektangel:

Først nu kan vi nemt beregne parallelogrammets areal; formlen bliver den samme som for et rektangel. En grafisk omdannelse af et parallelogram er dog ikke praktisk, så man bruger en simpel formel, som netop udspringer af den omdannelse. Siden a er nemlig identisk både i rektanglet og i parallelogrammet, det er kun den anden side, der er forskellig. For parallelogrammet regner vi derfor i stedet for siden b med parallelogrammets højde, som er lig med siden b i det omdannede rektangel. Det fremgår tydeligt af den følgende figur (vi skal gange de sider, der er fremhævet med rødt):

Formlen ser sådan ud: A=h_a·a.

Trapez

Omkredsen er klar, vi lægger alle siderne sammen. Arealet af et trapez er en hårdere nød at knække. Teoretisk kunne vi gøre som ved parallelogrammet, men vi ved ikke, om vi skal tage den længere (AB) eller den kortere (CD) side.

Derfor bruger man et trick – vi beregner den gennemsnitlige længde af de to parallelle sider og regner med den. Vi lægger altså længden af siden AB og CD sammen, dividerer med to og regner derefter på samme måde som ved parallelogrammet – vi ganger det endnu med højden, og så har vi arealet. A=(a+c)/2 · h_a.

Trekant

Trekanten er en todimensional figur, og derfor kan vi for den beregne omkreds og areal; den kan ikke have et rumfang, og det har den heller ikke. Omkredsen af en trekant beregner vi ved at lægge alle dens sider sammen. Den generelle formel ser altså sådan ud: O=a+b+c. Selvfølgelig kan vi finde specialtilfælde, for eksempel er det klart, at en ligesidet trekant har alle sider lige lange, og derfor er det nok at kende længden af én side og gange den med tre. Så ville formlen se sådan ud: O'=3a.

Til arealet af en trekant får vi brug for en lille omformning. For at kunne beregne arealet af en trekant må vi gøre den til et parallelogram (ligesom vi gjorde parallelogrammet til et rektangel). Hvordan man gør en trekant til et parallelogram, viser den følgende lille tegning os igen:

Af denne figur burde det nu være klart, hvordan man beregner arealet af en trekant – du går frem på samme måde, som hvis du beregnede arealet af et parallelogram, bare dividerer du resultatet med to: T=(h_c·c)/2

Cirkel

Cirkelskiven er en særlig figur, idet hverken omkreds eller areal kan skrives præcist som et decimaltal. Uanset hvad vi vil regne på med en cirkelskive, kommer vi næsten aldrig uden om konstanten pi – π. Decimaludviklingen af π er uendelig, det er et irrationalt tal, men dets tilnærmede værdi, som man som regel regner med (hvis du ikke har dets værdi gemt i lommeregneren), er 3,14.

Nu går vi videre til formlerne. Allerede de gamle tænkere undersøgte, hvordan man beregner omkredsen af en cirkelskive, henholdsvis af en cirkel (cirklen er kun selve linjen, buen; cirklen har intet indre og har derfor heller ikke noget areal, hvorimod cirkelskiven har et areal, fordi cirklens indre regnes med). Man fandt ud af, at forholdet mellem cirkelskivens diameter (som er let at måle) og dens omkreds altid er det samme, og med tiden regnede man også ud, hvor mange gange større omkredsen er end diameteren. Og se bare – det er netop pi gange. Omkredsen af en cirkelskive beregner vi derfor sådan her: O=π·d=2·π·r (oftest angives den anden, mere komplicerede formel, fordi vi som regel kender radius snarere end diameteren), hvor d er cirkelskivens diameter og r dens radius.

Arealet af en cirkelskive er så A=π·r², jeg ved ikke, hvad jeg ellers skulle sige om det :-).

Terning og kasse

Det er de første rumlige legemer, så her skal vi bestemme overfladeareal og rumfang. Da en terning har seks sideflader, og alle sidefladerne er kvadrater, er fremgangsmåden klar: du beregner arealet af én sideflade og ganger det derefter med seks. O=6a². For en kasse er det mere langsommeligt, fordi den har flere forskellige sideflader. I princippet er det nok at beregne arealet af tre forskellige sideflader, lægge dem sammen og gange med to, så har du kassens overfladeareal: O=(a·b + b·c + a·c)·2.

Rumfanget af en terning beregnes på præcis samme måde som arealet af et kvadrat, bare med den lille forskel, at vi ikke må glemme, at vi befinder os i rummet. Det er simpelthen nok at tage sidelængden og opløfte den i tredje potens: V=a³. For en kasse er det tilsvarende, vi skal bare gange de tre sider hver for sig, fordi de har forskellig længde: V=a·b·c.

Kugle

Overfladearealet af en kugle (= kuglefladen) beregnes som O=4·π·r², og rumfanget af en kugle er V=4/3·π·r³. Hvis du vil læse den ret komplicerede udledning af beregningen af kuglens rumfang, så kig på Cavalieris princip.

Cylinder

Overfladearealet af en cylinder beregner vi som summen af arealet af de to grundflader og arealet af den krumme overflade. Grundfladen er en almindelig cirkelskive, så arealet af den ene grundflade er lig med arealet af en cirkelskive, altså arealet af én grundflade beregner vi sådan her:

$$A_{\mathrm{g}}=\pi \cdot r^2$$

Cylinderens krumme overflade er ikke andet end et »rullet sammen« rektangel, hvor længden af den ene side er lig med cylinderens højde (vi betegner den h) og den anden er lig med omkredsen af cirklen ved grundfladen. Så arealet af den krumme overflade er lig med:

$$A_{\mathrm{k}}=h\cdot 2\pi r$$

Overfladearealet af hele cylinderen er således lig med:

$$O=2\cdot A_{\mathrm{g}}+A_{\mathrm{k}}=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

Rumfanget af en cylinder er enklere, det er højden ganget med grundfladens areal. Grundfladens areal har vi allerede beregnet i det foregående trin. Resultat:

$$V=h\cdot \pi r^2$$

Pyramide og kegle

Overfladearealet af en pyramide beregnes generelt som summen af grundfladens areal og arealerne af alle sidefladerne. Der findes ikke rigtig nogen generel formel til det. Rumfanget af en pyramide har noget til fælles med beregningen af arealet af en trekant – du tager grundfladens areal og ganger det med pyramidens højde. Resultatet dividerer du derefter med tre, og så har du pyramidens rumfang. V=(A_g · h)/3, hvor A_g er grundfladens areal.

Overfladearealet af en ret cirkulær kegle er lig med summen af grundfladens areal og arealet af den krumme overflade. Grundfladens areal er klart, det er en almindelig cirkelskive, altså A=π·r². Arealet af den krumme overflade er lidt mere kompliceret, du skal forestille dig, at du »folder« den krumme overflade ud på et bord, og så opstår der et slags cirkeludsnit, hvis areal er lig med: A_k=π·r·s, hvor s er keglens sidelinje (afstanden fra keglens spids til kanten af grundfladen, i princippet noget i retning af en kant på en pyramide). Rumfanget af en kegle er V=(π · r² · h)/3, hvor h er keglens højde.

Eksempel på arealer

Beregn arealet af den følgende figur (antag, at målene på aksen er i meter):

Ved første øjekast ser vi, at denne figur er en eller anden generel polygon, som vi ikke kan anvende nogen formel på som helhed. Vi må derfor dele den op i mindre dele, som vi allerede kan beregne. Det mest praktiske er at lave den nederste del til en trekant og den øverste del til et trapez. Opdelingen viser den følgende figur:

Nu beregner vi arealet af trekanten ABE efter formlen T=(a · h_a)/2. Siden a bliver i dette tilfælde siden AE, og højden på denne side bliver siden EB. Vi ser, at |AE|=3 m og |EB|=1 m. Ved indsættelse i formlen får vi: T=(3 · 1)/2=1,5 m².

I andet trin beregner vi trapezets areal, og det efter formlen A=(a+c)/2 · h_a. Siden a bliver i vores tilfælde siden AE og siden c siden DC. Højden kan vi igen let aflæse af figuren, den er lig med længden af linjestykket EC. Ved indsættelse i formlen får vi: A=(3+2)/2 · 2=5 m².

De to foregående delresultater lægger vi simpelthen sammen, og så har vi figurens samlede areal. A=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Beregn arealet af den følgende figur (antag, at målene på aksen er i meter):

Det er sikkert igen indlysende ved første øjekast, at én formel ikke slår til, og at vi må ændre figuren på en eller anden måde. Vi regner på følgende måde: Vi beregner arealet af »kvadratet«, lægger tre fjerdedele af en cirkelskives areal til og trækker den lille trekant nederst til venstre fra:

Arealet af kvadratet beregner vi let: A₁ = 2 · 2 = 4 m². I andet trin beregner vi cirkelskivens areal. Igen indsætter vi bare i formlen og regner A₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Tilbage er kun at beregne arealet af trekanten DEI og trække det fra kvadratets areal. Siden EI og dens højde DI har begge længden 1 m, så trekantens areal bliver T = ½.

I sidste trin lægger vi delresultaterne sammen og trækker fra: A = A₁ + A₂ − T = 3,5 m² + 3π/4 m².