Alan ve Hacim Formülleri

Önce, bilmeyen olursa diye, teoriyi çok kısaca hatırlatalım. Bir şeklin çevresi, bütün kenarlarının uzunlukları toplamıdır ve metre ve türevi birimlerle ifade edilir. Çevre genellikle Ç harfiyle gösterilir. Bir şeklin alanı, şeklin oluşturduğu yüzeyin büyüklüğüdür ve metrekareyle hesaplanır; metrekare matematikte üst indisteki ikiyle yazılır: m². Alan genellikle A harfiyle gösterilir. Hacim, bir cismin kapladığı yerdir; basitçe söylersek oraya ne kadar su dökebileceğini gösterir. Hacim metreküp ve türevi birimlerle hesaplanır ve uzaysal ölçüler üst indisteki üçle yazılır: m³. Hacim genellikle V harfiyle gösterilir. Alanı ve hacmi başka (ve günlük hayatta muhtemelen daha çok kullanılan) birimlerle de ifade edebiliriz; alan için ar ya da hektar, hacim için litre gibi. Alan ya da hacim genel olarak integrallerle de hesaplanabilir.

Kare ve Dikdörtgen

Bu iki şekil iki boyutludur; dolayısıyla burada yalnızca çevre ve alan bulunur. En basiti kare, çünkü kare tanım gereği bütün kenarları eşit uzunlukta olan şekildir. Bu yüzden karenin çevresini hesaplarken bir kenarını alıp dörtle (kenar sayısıyla) çarpmamız yeter: Ç=4a. Dikdörtgenin çevresi ise yalnızca bir tık daha karmaşıktır. Dikdörtgenin her zaman ikişer eşit kenarı vardır; bu yüzden iki yol çıkar karşımıza: ya bütün kenarları basitçe toplarız ya da iki farklı kenarın uzunluğunu alıp ikiyle çarparız ve toplarız: Ç=2a+2b.

Karenin alanı çevresinden hiç de zor değildir. Bir kenarını alıp diğer kenarıyla çarparsın. Karenin bütün kenarları eşit uzunlukta olduğu için şu formül çıkar: A = a·a = a². Dikdörtgen tamamen kareyle aynı biçimde işler; tek fark, dikdörtgenin bütün kenarlarının eşit olmamasıdır, bu yüzden birbirine dik iki farklı kenarı çarpman gerekir: A=a·b.

Paralelkenar

Paralelkenar dikdörtgene benzeyen, ama karşılıklı iki kenarı yatık olan bir şekildir; bu paragrafın altındaki şekle bak. Paralelkenarın çevresi basittir ve esas olarak dikdörtgendekiyle aynıdır: Ç=2a+2b; ancak alanı biraz daha ilginçtir. Paralelkenarın alanını hesaplamak için onu bir dikdörtgene çevirmemiz gerekir, yoksa olmaz. Bunu nasıl yaptığımızı aşağıdaki şekil gösteriyor:

Önce paralelkenarın fazla kısmını (boyalı kısım) keseriz ve paralelkenarın öbür tarafına ekleriz; böylece bir dikdörtgen oluşur:

Artık paralelkenarın alanını kolayca hesaplayabiliriz; formül dikdörtgendekiyle aynı olacak. Ancak paralelkenarı grafik olarak dönüştürmek rahat değildir, bu yüzden tam da bu dönüşümden çıkan basit formül kullanılır. a kenarı hem dikdörtgende hem paralelkenarda aynıdır, yalnızca öbür kenar farklıdır. Biz paralelkenarda b kenarı yerine paralelkenarın yüksekliğiyle hesaplayacağız; bu yükseklik, düzenlenmiş dikdörtgendeki b kenarına eşittir. Şekil bunu açıkça gösteriyor (kırmızıyla vurgulanan kenarları çarpacağız):

Formül şöyledir: A=h_a·a.

Yamuk

Çevre belli, bütün kenarları toplarız. Yamuğun alanı ise daha zor bir lokma. Teorik olarak paralelkenardaki gibi ilerleyebilirdik, ama uzun olan (AB) kenarı mı yoksa kısa olan (CD) kenarı mı almamız gerektiğini bilmiyoruz.

Bu yüzden küçük bir hile kullanırız — bu iki paralel kenarın ortalama uzunluğunu hesaplar ve onunla çalışırız. Yani AB ve CD kenarlarının uzunluklarını toplar, ikiye böler ve sonra paralelkenardaki gibi hesaplarız — bunu bir de yükseklikle çarparız ve alanı elde ederiz. A=(a+c)/2 · h_a.

Üçgen

Üçgen iki boyutlu bir şekildir ve bu nedenle onun için çevre ve alan hesaplayabiliriz; hacmi olamaz ve yoktur da. Üçgenin çevresini tüm kenarlarını toplayarak hesaplarız. Genel formül şöyle olurdu: Ç=a+b+c. Elbette özel durumlar da bulabiliriz; örneğin eşkenar üçgenin bütün kenarları eşit uzunlukta olduğu için bir kenarının uzunluğunu bilip üçle çarpmamız yeter. O zaman formül şöyle görünürdü: Ç'=3a.

Üçgenin alanı için küçük bir düzenlemeye ihtiyacımız olacak. Üçgenin alanını hesaplayabilmek için onu bir paralelkenara çevirmemiz gerekir (tıpkı paralelkenarı dikdörtgene çevirdiğimiz gibi). Üçgeni paralelkenara nasıl çevireceğimizi yine aşağıdaki çizim gösteriyor:

Bu şekilden üçgenin alanını nasıl hesaplayacağın artık açık olmalı — paralelkenarın alanını hesaplıyormuşsun gibi ilerler, yalnızca sonucu ikiye bölersin: A=(h_c·c)/2

Daire

Daire, çevresi de alanı da ondalık sayı olarak tam yazılamayan özel bir şekildir. Daireyle ne hesaplamak istersek isteyelim, Pi sabiti – π olmadan neredeyse hiçbir zaman yapamayız. π’nin ondalık açılımı sonsuzdur; bu bir irrasyonel sayıdır, ancak genellikle onunla hesaplanan yaklaşık değeri (hesap makinende değeri kayıtlı değilse) 3,14’tür.

Şimdi formüllere geçelim. Eski çağların düşünürleri bile dairenin çevresini, daha doğrusu çemberin çevresini nasıl hesaplayacaklarını araştırıyordu (çember yalnızca o çizgidir, yaydır; çemberin içi yoktur ve dolayısıyla alanı da yoktur, oysa dairenin alanı vardır, çünkü çemberin içi de ona dahildir). Dairenin çapının (kolayca ölçülebilir) çevresine oranının her zaman aynı olduğu anlaşıldı ve zamanla çevrenin çaptan kaç kat büyük olduğu da hesaplandı. Ve şaşılacak şey — bu tam olarak Pi katıdır. Yani dairenin çevresini şöyle hesaplarız: Ç=π·d=2·π·r (çoğunlukla ikincisi, daha karmaşık olanı yazılır, çünkü genellikle çaptan çok yarıçapı biliriz); burada d çap, r ise dairenin yarıçapıdır.

Dairenin alanı ise A=π·r²’dir; buna başka ne ekleyebilirim, bilmiyorum :-).

Küp ve Dikdörtgenler Prizması

Bunlar ilk uzaysal cisimlerdir; bu yüzden onlar için yüzey alanını ve hacmi belirleyeceğiz. Küpün altı yüzü olduğu ve bütün yüzleri kare olduğu için yol açıktır: bir yüzün alanını hesaplarsın ve onu altıyla çarparsın. A=6a². Dikdörtgenler prizmasında ise daha uzun sürer, çünkü birbirinden farklı birkaç yüzü vardır. Temelde üç farklı yüzün alanını hesaplayıp toplamak ve ikiyle çarpmak yeter; böylece dikdörtgenler prizmasının yüzey alanını bulursun: A=(a·b + b·c + a·c)·2.

Küpün hacmi tam olarak karenin alanı gibi hesaplanır, tek küçük farkla: uzayda olduğumuzu unutmamalıyız. Yani kenar uzunluğunun küpünü almak yeter: V=a³. Dikdörtgenler prizmasında da benzerdir, yalnızca üç kenar farklı uzunlukta olduğu için onları ayrı ayrı çarpmamız gerekir: V=a·b·c.

Küre

Kürenin yüzey alanı (=küresel yüzey) A=4·π·r² ile hesaplanır, kürenin hacmi ise V=4/3·π·r³’tür. Kürenin hacminin oldukça karmaşık türetilişini okumak istersen Cavalieri ilkesine göz at.

Silindir

Silindirin yüzey alanını iki tabanın alanı ile yanal yüzeyin alanının toplamı olarak hesaplarız. Taban sıradan bir dairedir; yani bir tabanın alanı dairenin alanına eşittir, dolayısıyla bir tabanın alanını şöyle hesaplarız:

$$A_t=\pi \cdot r^2$$

Silindirin yanal yüzeyi, “sarılmış” bir dikdörtgenden başka bir şey değildir; bu dikdörtgenin bir kenarının uzunluğu silindirin yüksekliğine (h diyelim) eşittir, diğeri ise taban çemberinin çevresine eşittir. Yani yanal yüzeyin alanı şuna eşittir:

$$A_y=h\cdot 2\pi r$$

Bütün silindirin yüzey alanı böylece şuna eşit olur:

$$A=2\cdot A_t+A_y=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

Silindirin hacmi daha basittir, yükseklik çarpı taban alanıdır. Taban alanını önceki adımda zaten hesaplamıştık. Sonuç:

$$V=h\cdot \pi r^2$$

Piramit ve Koni

Piramidin yüzey alanı genel olarak taban alanı ile bütün yüzlerin alanlarının toplamı olarak hesaplanır. Bunun için genel bir formül pek yok. Piramidin hacminin üçgenin alanını hesaplamakla bir ortak yanı vardır — taban alanını alıp piramidin yüksekliğiyle çarparsın. Sonucu üçe bölersin ve piramidin hacmini bulursun. V=(A_t · h)/3; burada A_t taban alanıdır.

Dik dairesel koninin yüzey alanı, taban alanı ile yanal yüzeyin alanının toplamına eşittir. Taban alanı açıktır, sıradan bir daire; yani A=π·r². Yanal yüzeyin alanı biraz daha karmaşıktır; yanal yüzeyi masanın üzerine “açtığını” hayal etmelisin, böylece bir daire dilimi oluşur ve alanı şuna eşittir: A=π·r·s; burada s koninin ana doğrusunun uzunluğudur (koninin tepesinin taban çemberinin herhangi bir noktasına uzaklığı; piramitteki ayrıta biraz benzer bir şeydir). Koninin hacmi V=(π · r² · h)/3’tür; burada h koninin yüksekliğidir.

Alan Örnekleri

Aşağıdaki şeklin alanını hesapla (eksen üzerindeki ölçülerin metre olduğunu varsay):

İlk bakışta bu şeklin genel bir çokgen olduğunu görürüz; bütününe hiçbir formül uygulayamayız. Bu yüzden onu hesaplayabileceğimiz daha küçük parçalara bölmemiz gerekir. En uygunu, alt kısmı üçgen, üst kısmı yamuk yapmak olacak. Bölünüşü aşağıdaki şekil gösteriyor:

Şimdi ABE üçgeninin alanını A=(a · h_a)/2 formülüne göre hesaplayalım. Bu durumda a kenarı AE kenarı olacak, bu kenara ait yükseklik ise EB kenarı olacak. |AE|=3 m ve |EB|=1 m olduğunu görüyoruz. Formülde yerine yazarak şunu elde ederiz: A(ABE)=(3 · 1)/2=1,5 m².

İkinci adımda yamuğun alanını A=(a+c)/2 · h_a formülüne göre hesaplayalım. Bizim durumumuzda a kenarı AE kenarı, c kenarı ise DC kenarı olacak. Yüksekliği yine şekilden kolayca okuruz; bu EC doğru parçasının uzunluğudur. Formülde yerine yazarak şunu elde ederiz: A=(3+2)/2 · 2=5 m².

Önceki iki kısmi sonucu yalnızca toplarız ve şeklin toplam alanını elde ederiz. A=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Aşağıdaki şeklin alanını hesapla (eksen üzerindeki ölçülerin metre olduğunu varsay):

Yine ilk bakışta tek bir formülün bize yetmeyeceği ve şekli bir biçimde düzenlememiz gerektiği anlaşılıyor. Şöyle hesaplayacağız: “karenin” alanını hesaplarız, buna dairenin dörtte üçünün alanını ekleriz ve sol alttaki o küçük üçgeni çıkarırız:

Karenin alanını kolayca hesaplarız: A₁ = 2 · 2 = 4 m². İkinci adımda dairenin alanını hesaplarız. Yine yalnızca formülde yerine yazıp hesaplarız: A₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Geriye DEI üçgeninin alanını hesaplayıp karenin alanından çıkarmak kalıyor. EI kenarının da, ona ait yükseklik olan DI’nın de uzunluğu 1 m olduğundan üçgenin alanı A₃ = ½ olacaktır.

Son adımda kısmi sonuçları toplar ve çıkarırız: A = A₁ + A₂ − A₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².