Volume și arii

Mai întâi, foarte pe scurt, puțină teorie, pentru cazul în care cineva nu o știe. Perimetrul unei figuri este suma lungimilor tuturor laturilor ei și se exprimă în metri și unități derivate. Perimetrul se notează de obicei cu litera P. Aria unei figuri este mărimea suprafeței pe care o formează figura; se calculează în metri pătrați, iar matematic metrul pătrat se scrie cu un 2 la exponent: m². Aria se notează de obicei cu litera A. Volumul este spațiul pe care îl ocupă un corp; pe scurt, arată câtă apă ai putea turna în el. Volumul se calculează în metri cubi și unități derivate, iar măsurile spațiale se scriu cu un 3 la exponent: m³. Volumul se notează de obicei cu litera V. Aria și volumul le putem exprima și în alte unități (probabil mai folosite în viața de zi cu zi), cum sunt arul sau hectarul pentru arie și litrul pentru volum. Aria sau volumul se pot calcula în general cu integrale.

Pătratul și dreptunghiul

Ambele figuri sunt plane, deci avem la ele doar perimetru și arie. La pătrat totul este cel mai simplu, pentru că pătratul are, prin definiție, toate laturile egale. Așadar, dacă vrem perimetrul pătratului, ne ajunge să luăm o latură a pătratului și s-o înmulțim cu patru (numărul laturilor): P=4a. Perimetrul dreptunghiului este doar un pic mai complicat. Dreptunghiul are mereu două câte două laturi egale, deci avem două variante: fie adunăm pur și simplu toate laturile, fie luăm lungimile a două laturi diferite, le înmulțim cu doi și le adunăm: P=2a+2b.

Aria pătratului nu este cu nimic mai complicată decât perimetrul. Iei o latură și o înmulțești cu cealaltă latură. Fiindcă pătratul are toate laturile egale, rezultă formula: A = a·a = a². Dreptunghiul funcționează absolut identic cu pătratul, cu diferența că dreptunghiul nu are toate laturile egale, așa că trebuie să înmulțești două laturi diferite, perpendiculare între ele: A=a·b.

Paralelogramul

Paralelogramul este o figură asemănătoare dreptunghiului, dar care are două laturi opuse înclinate, vezi figura de sub acest paragraf. Perimetrul paralelogramului este simplu și, în esență, la fel ca la dreptunghi: P=2a+2b, însă aria este ceva mai interesantă. Ca să calculăm aria paralelogramului, trebuie să-l transformăm într-un dreptunghi, altfel nu merge. Iar cum îl transformăm într-un dreptunghi ne arată figura următoare:

Mai întâi tăiem partea în plus a paralelogramului (partea colorată) și o lipim de cealaltă parte a paralelogramului, astfel că obținem un dreptunghi:

Abia acum putem calcula ușor aria paralelogramului, formula va fi aceeași ca la dreptunghi. Totuși, transformarea grafică a paralelogramului nu este comodă, așa că se folosește o formulă simplă, care provine tocmai din această transformare. Latura a este identică atât la dreptunghi, cât și la paralelogram, diferă doar cealaltă latură. La paralelogram, în loc de latura b, vom calcula cu înălțimea paralelogramului, care este egală cu latura b a dreptunghiului obținut. Figura următoare arată pe scurt acest lucru (vom înmulți laturile evidențiate cu roșu):

Formula arată astfel: A=h_a·a.

Trapezul

Perimetrul este clar, adunăm toate laturile. Aria trapezului este deja o nuce mai tare. Teoretic am putea proceda la fel ca la paralelogram, dar nu știm dacă să luăm baza mai mare (AB) sau pe cea mai mică (CD).

De aceea se folosește un truc – calculăm media lungimilor celor două baze paralele și lucrăm cu ea. Adunăm deci lungimea laturii AB cu lungimea laturii CD, împărțim la doi și apoi calculăm la fel ca la paralelogram – înmulțim cu înălțimea și avem aria. A=(a+c)/2·h_a.

Triunghiul

Triunghiul este o figură plană și, ca atare, putem calcula la el perimetrul și aria; nu poate avea și nu are volum. Perimetrul triunghiului îl calculăm adunând toate laturile lui. Formula generală ar arăta deci așa: P=a+b+c. Bineînțeles, putem găsi cazuri particulare, de exemplu este clar că triunghiul echilateral are toate laturile egale, deci ne ajunge să cunoaștem lungimea unei laturi și s-o înmulțim cu trei. Atunci formula ar arăta astfel: P'=3a.

Pentru aria triunghiului vom avea nevoie de o mică transformare. Ca să putem calcula aria triunghiului, trebuie să-l transformăm într-un paralelogram (la fel cum am transformat paralelogramul într-un dreptunghi). Cum transformăm triunghiul într-un paralelogram ne arată din nou desenul următor:

Din această figură ar trebui să fie clar cum calculăm aria triunghiului – procedăm la fel ca la aria paralelogramului, doar că împărțim rezultatul la doi: A=(h_c·c)/2

Cercul

Cercul este o figură specială prin faptul că perimetrul și aria lui nu se pot scrie exact ca număr zecimal. Orice am vrea să calculăm cu cercul, aproape niciodată nu ne putem lipsi de constanta Pi – π. Scrierea zecimală a lui π este infinită, este un număr irațional, dar valoarea aproximativă cu care se calculează de obicei (dacă nu ai valoarea lui memorată în calculator) este 3,14.

Să trecem acum la formule. Încă gânditorii din vechime au căutat cum se calculează perimetrul discului, mai exact lungimea cercului (cercul este doar linia, arcul; cercul nu are interior și deci nu are arie, în timp ce discul are arie, pentru că i se socotește și interiorul cercului). S-a constatat că raportul dintre lungimea cercului și diametrul lui (care se poate măsura ușor) este întotdeauna același și, cu timpul, s-a calculat de câte ori este lungimea cercului mai mare decât diametrul. Și, surpriză – este tocmai de Pi ori. Lungimea cercului o calculăm deci astfel: L=π·d=2·π·r (mai des se dă a doua formulă, mai complicată, pentru că de obicei cunoaștem mai degrabă raza decât diametrul), unde d este diametrul și r este raza cercului.

Aria discului este apoi A=π·r², nu știu ce aș mai putea adăuga :-).

Cubul și paralelipipedul dreptunghic

Acestea sunt primele corpuri geometrice, la ele vom determina deci aria totală și volumul. Fiindcă cubul are șase fețe și toate fețele sunt pătrate, procedeul este clar: calculezi aria unei fețe și o înmulțești apoi cu șase. A_t=6a². La paralelipipedul dreptunghic este mai îndelungat, pentru că are mai multe fețe diferite. În esență, ajunge să calculezi aria a trei fețe diferite, să le aduni și să înmulțești cu doi, și ai aria totală a paralelipipedului dreptunghic: A_t=(a·b + b·c + a·c)·2.

Volumul cubului se calculează exact ca aria pătratului, cu mica diferență că nu trebuie să uităm că ne aflăm în spațiu. Pur și simplu luăm lungimea laturii și o ridicăm la puterea a treia: V=a³. La paralelipipedul dreptunghic este asemănător, doar că trebuie să înmulțim cele trei dimensiuni separat, pentru că au lungimi diferite: V=a·b·c.

Sfera

Aria sferei se calculează A_t=4·π·r², iar volumul sferei este V=4/3·π·r³. Dacă vrei să citești deducerea destul de complicată a formulei volumului sferei, uită-te la principiul lui Cavalieri. Deducerea formulei ariei sferei se află, de exemplu, pe forumul nostru.

Cilindrul

Aria totală a cilindrului o calculăm ca suma ariilor celor două baze cu aria laterală. Baza este un disc obișnuit, deci aria unei baze va fi egală cu aria discului, adică aria unei baze se calculează astfel:

$${\mathcal{A}}_b=\pi \cdot r^2$$

Suprafața laterală a cilindrului nu este altceva decât un dreptunghi „rulat”, în care lungimea unei laturi este egală cu înălțimea cilindrului (o notăm cu h), iar cealaltă este egală cu lungimea cercului de la bază. Deci aria laterală este egală cu:

$${\mathcal{A}}_l=h\cdot 2\pi r$$

Aria totală a întregului cilindru este deci egală cu:

$${\mathcal{A}}_t=2\cdot {\mathcal{A}}_b+{\mathcal{A}}_l=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

Volumul cilindrului este mai simplu, este înălțimea înmulțită cu aria bazei. Aria bazei am calculat-o deja la pasul precedent. Rezultatul:

$$V=h\cdot \pi r^2$$

Piramida și conul

Aria totală a piramidei se calculează în general ca suma dintre aria bazei și ariile tuturor fețelor laterale. Pentru aceasta nu există o formulă generală prea utilă. Volumul piramidei are ceva în comun cu calculul ariei triunghiului – iei aria bazei și o înmulțești cu înălțimea piramidei. Rezultatul îl împarți apoi la trei și ai volumul piramidei. V=(A_b·h)/3, unde A_b este aria bazei.

Aria totală a conului circular drept este egală cu suma dintre aria bazei și aria laterală. Aria bazei este clară, este un disc obișnuit, deci A_b=π·r². Aria laterală este ceva mai complicată, trebuie să-ți imaginezi că „desfaci” suprafața laterală pe masă și astfel obții un sector circular, a cărui arie este egală cu: A_l=π·r·g, unde g este generatoarea conului (distanța de la vârful conului la marginea bazei, în esență ceva asemănător cu muchia laterală la piramidă). Volumul conului este V=(π·r²·h)/3, unde h este înălțimea conului.

Exemplu cu arii

Calculează aria figurii următoare (presupune că măsurile de pe axe sunt în metri):

La prima vedere constatăm că această figură este un fel de poligon oarecare, la care, ca întreg, nu putem aplica nicio formulă. Trebuie deci să o împărțim în părți mai mici, pe care le putem calcula. Cel mai potrivit va fi să facem din partea de jos un triunghi, iar din partea de sus un trapez. Împărțirea o arată figura următoare:

Acum calculăm aria triunghiului ABE după formula A=(a·h_a)/2. Latura a va fi în acest caz latura AE, iar înălțimea corespunzătoare ei va fi latura EB. Vedem că |AE|=3 m și |EB|=1 m. Înlocuind în formulă obținem: A=(3·1)/2=1,5 m².

În al doilea pas calculăm aria trapezului, după formula A=(a+c)/2·h_a. Latura a va fi în cazul nostru latura AE, iar latura c latura DC. Înălțimea o citim din nou ușor din figură, este lungimea segmentului EC. Înlocuind în formulă obținem: A=(3+2)/2·2=5 m².

Cele două rezultate parțiale pur și simplu le adunăm și avem aria finală a figurii. A=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Calculează aria figurii următoare (presupune că măsurile de pe axe sunt în metri):

Probabil este din nou evident la prima vedere că nu ne va ajunge o singură formulă și că va trebui să modificăm cumva figura. Vom calcula în felul următor: calculăm aria „pătratului”, adăugăm la ea trei sferturi din aria discului și scădem micul triunghi din stânga jos:

Aria pătratului o calculăm simplu: A₁ = 2 · 2 = 4 m². În al doilea pas calculăm aria discului. Din nou doar înlocuim în formulă și calculăm A₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Mai rămâne doar să calculăm aria triunghiului DEI și s-o scădem din aria pătratului. Latura EI și înălțimea ei DI au aceeași lungime, 1 m, deci aria triunghiului va fi A₃ = ½.

În ultimul pas adunăm și scădem rezultatele parțiale: A = A₁ + A₂ − A₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².