Kerületek, területek és térfogatok

Először nagyon röviden az elméletről, hátha valaki nem tudná. Egy alakzat kerülete az összes oldala hosszának összege, méterben és az abból származtatott mértékegységekben fejezzük ki. A kerületet általában a K betűvel jelöljük. Egy alakzat területe az általa kitöltött felület nagysága, négyzetméterben számoljuk, és a négyzetméter matematikailag a felső indexbe írt kettessel fejezhető ki: m². A területet általában a T betűvel írjuk. A térfogat az a tér, amelyet a test kitölt, egyszerűen szólva azt fejezi ki, hogy mennyi vizet tudnál beleönteni. A térfogatot köbméterben és az abból származtatott mértékegységekben számoljuk, és a térbeli mértékeket a felső indexbe írt hármassal jelöljük: m³. A térfogatot általában a V betűvel jelöljük. A területet és a térfogatot más (és a mindennapi életben valószínűleg gyakrabban használt) mértékegységekben is kifejezhetjük, például az ár vagy a hektár a területnél, a liter a térfogatnál. A területet vagy térfogatot általánosan integrállal is kiszámíthatjuk.

Négyzet és téglalap

Mindkét alakzat kétdimenziós, ezért náluk csak kerületet és területet találunk. A négyzetnél a legegyszerűbb a dolog, mert a négyzetnek már a definíciója szerint minden oldala egyenlő hosszú. Ha tehát a négyzet kerületét számoljuk, elég venni a négyzet egyik oldalát, és megszorozni néggyel (az oldalak számával): K=4a. A téglalap kerülete csak egy hajszállal bonyolultabb. A téglalapnak mindig két-két egyenlő hosszú oldala van, ezért két út kínálkozik: vagy egyszerűen összeadjuk az összes oldalt, vagy vesszük két különböző oldal hosszát, megszorozzuk kettővel, és összeadjuk: K=2a+2b.

A négyzet területe semmivel sem bonyolultabb a kerületénél. Veszed az egyik oldalát, és megszorzod a másik oldalával. Mivel a négyzet minden oldala egyenlő hosszú, a képlet így alakul: T = a·a = a². A téglalap pontosan úgy működik, mint a négyzet, csak azzal a különbséggel, hogy a téglalap oldalai nem mind egyenlő hosszúak, ezért két különböző, egymásra merőleges oldalt kell összeszorozni: T=a·b.

Paralelogramma

A paralelogramma a téglalaphoz hasonló alakzat, de két szemközti oldala elferdült, lásd az ábrát e bekezdés alatt. A paralelogramma kerülete egyszerű, és lényegében ugyanaz, mint a téglalapé: K=2a+2b, a területe viszont már egy kicsit érdekesebb. A paralelogramma területének kiszámításához téglalapot kell csinálnunk belőle, különben nem fog menni. Hogy hogyan csinálunk belőle téglalapot, azt a következő ábra mutatja:

Először levágjuk a paralelogramma felesleges részét (a kiszínezett rész), és a paralelogramma másik oldalához illesztjük, így téglalap keletkezik:

Csak most tudjuk egyszerűen kiszámítani a paralelogramma területét, a képlet ugyanaz lesz, mint a téglalapnál. A grafikus átalakítás azonban nem kényelmes, ezért az ebből az átalakításból kiinduló egyszerű képletet használjuk. Az a oldal ugyanis megegyezik a téglalapnál és a paralelogrammánál is, csak a másik oldal különbözik. Ezért a paralelogrammánál a b oldal helyett a paralelogramma magasságával számolunk, amely megegyezik az átalakított téglalap b oldalával. Áttekinthetően mutatja ezt a következő ábra (a pirossal kiemelt oldalakat kell szorozni):

A képlet így néz ki: T=m_a·a.

Trapéz

A kerület egyértelmű, összeadjuk az összes oldalt. A trapéz területe már keményebb dió. Elvileg úgy is eljárhatnánk, mint a paralelogrammánál, de nem tudjuk, hogy a hosszabbik (AB) vagy a rövidebbik (CD) oldalt kell-e vennünk.

Ezért egy fortélyt használunk: kiszámítjuk a két párhuzamos oldal átlagos hosszát, és azzal számolunk tovább. Összeadjuk tehát az AB és a CD oldal hosszát, elosztjuk kettővel, és onnan már ugyanúgy számolunk, mint a paralelogrammánál – még megszorozzuk a magassággal, és megvan a terület. T=(a+c)/2 · m_a.

Háromszög

A háromszög kétdimenziós alakzat, ezért nála is számolhatunk kerületet és területet, térfogata nem lehet, és nincs is. A háromszög kerületét úgy számítjuk ki, hogy összeadjuk az összes oldalát. Az általános képlet tehát így néz ki: K=a+b+c. Természetesen találhatunk különleges eseteket, például nyilvánvaló, hogy a szabályos háromszög minden oldala egyenlő hosszú, ezért elég ismernünk egy oldal hosszát, és azt megszorozni hárommal. Akkor a képlet így nézne ki: K'=3a.

A háromszög területéhez egy kis átalakításra lesz szükségünk. Ahhoz, hogy kiszámíthassuk a háromszög területét, paralelogrammát kell csinálnunk belőle (hasonlóan ahhoz, ahogy a paralelogrammából téglalapot csináltunk). Hogy hogyan csinálunk háromszögből paralelogrammát, azt ismét a következő rajz mutatja:

Ebből az ábrából már világosnak kell lennie, hogyan számítjuk ki a háromszög területét – úgy jársz el, mintha a paralelogramma területét számolnád, csak az eredményt elosztod kettővel: T=(m_c·c)/2

Kör

A kör abban sajátos alakzat, hogy sem a kerülete, sem a területe nem írható fel pontosan tizedes törtként. Bármit akarunk is a körrel számolni, aligha tudunk meglenni a π állandó nélkül. A π tizedes tört alakja végtelen, irracionális szám, de a közelítő értéke, amellyel általában számolunk (ha nincs a számológépedben eltárolva), 3,14.

Most térjünk át a képletekre. Már az ókori gondolkodók is azon dolgoztak, hogyan számítható ki a kör kerülete, helyesebben a körvonal hossza (a körvonal csak a vonal, az ív, a körvonalnak nincs belseje, ezért területe sincs, a körlapnak viszont van területe, mert beleszámít a körvonal belseje is). Kiderült, hogy a kör átmérőjének (amely könnyen megmérhető) és a kör kerületének aránya mindig ugyanakkora, és idővel azt is kiszámították, hogy a kör kerülete hányszor nagyobb az átmérőjénél. És csodák csodája – éppen π-szer. A kör kerületét tehát így számítjuk: K=d·π=2·r·π (gyakrabban a második, bonyolultabb képletet használják, mert többnyire inkább a sugarat ismerjük, mint az átmérőt), ahol d az átmérő, r pedig a kör sugara.

A kör területe pedig T=r²·π, nem tudom, mit tehetnék még hozzá :-).

Kocka és téglatest

Ezek az első térbeli testek, náluk tehát a felszínt és a térfogatot fogjuk meghatározni. Mivel a kockának hat lapja van, és minden lap négyzet, az eljárás egyértelmű: kiszámítod az egyik lap területét, és azt megszorzod hattal. A=6a². A téglatestnél ez már hosszadalmasabb, mert többféle lapja van. Lényegében elég kiszámítani három különböző lap területét, összeadni, és megszorozni kettővel, és megvan a téglatest felszíne: A=(a·b + b·c + a·c)·2.

A kocka térfogatát hajszálpontosan úgy számoljuk, mint a négyzet területét, azzal a kis különbséggel, hogy nem szabad elfelejtenünk, hogy térben vagyunk. Egyszerűen csak vesszük az oldal hosszát, és harmadik hatványra emeljük: V=a³. A téglatestnél ez hasonló, csak ott a három oldalt külön kell szorozni, mert különböző hosszúak: V=a·b·c.

Gömb

A gömb felszínét (=gömbfelület) így számítjuk: A=4·r²·π, a gömb térfogata pedig V=4/3·r³·π. Ha el szeretnéd olvasni a gömb térfogatának meglehetősen bonyolult levezetését, nézd meg a Cavalieri-elvet.

Henger

A henger felszínét két alaplap területének és a palást területének összegeként számítjuk ki. Az alaplap egy közönséges kör, ezért egy alaplap területe egyenlő a kör területével, vagyis egy alaplap területét így számítjuk ki:

$$T_{\text{alap}}=r^2\pi$$

A henger palástja nem más, mint egy „felgöngyölt” téglalap, amelynek egyik oldala egyenlő a henger magasságával (jelöljük m-mel), a másik pedig az alapkör kerületével. A palást területe tehát:

$$T_{\text{palást}}=m\cdot 2r\pi$$

A teljes henger felszíne így:

$$A=2\cdot T_{\text{alap}}+T_{\text{palást}}=2r^2\pi +2rm\pi =2r\pi (r+m)$$

A henger térfogata egyszerűbb: a magasság szorozva az alaplap területével. Az alaplap területét az előző lépésben már kiszámoltuk. Az eredmény:

$$V=r^2\pi \cdot m$$

Gúla és kúp

A gúla felszínét általában az alaplap és az összes oldallap területének összegeként számítjuk ki. Erre általános képlet nem nagyon van. A gúla térfogatának köze van a háromszög területének kiszámításához – veszed az alaplap területét, és megszorzod a gúla magasságával. Az eredményt aztán elosztod hárommal, és megvan a gúla térfogata. V=(T_alap · m)/3, ahol T_alap az alaplap területe.

A forgáskúp felszíne az alaplap és a palást területének összege. Az alaplap területe egyértelmű, közönséges körről van szó, tehát T=r²·π. A palást területe kicsit bonyolultabb, el kell képzelned, hogy a palástot az asztalra „kiteríted”, és így egy körcikk keletkezik, amelynek területe: T=r·a·π, ahol a a kúp alkotója (a kúp csúcsának távolsága az alapkör szélétől, lényegében valami hasonló, mint a gúla éle). A kúp térfogata V=(r² · π · m)/3, ahol m a kúp magassága.

Példa a területekre

Számítsd ki a következő ábra területét (feltételezd, hogy a tengelyen a méretek méterben vannak megadva):

Első pillantásra megállapíthatjuk, hogy ez az alakzat valamilyen általános sokszög, amelyre egészében nem alkalmazhatunk semmilyen képletet. Fel kell tehát osztanunk kisebb részekre, amelyeket már ki tudunk számítani. A legkézenfekvőbb az, ha az alsó részből háromszöget, a felső részből pedig trapézt csinálunk. A felosztást a következő ábra mutatja:

Most kiszámítjuk az ABE háromszög területét a T=(a · m_a)/2 képlettel. Az a oldal ebben az esetben az AE oldal, az erre az oldalra húzott magasság pedig az EB szakasz. Látjuk, hogy |AE|=3 m és |EB|=1 m. Behelyettesítve a képletbe: T=(3 · 1)/2=1,5 m².

A második lépésben kiszámítjuk a trapéz területét a T=(a+c)/2 · m_a képlettel. Az a oldal a mi esetünkben az AE oldal, a c oldal pedig a DC oldal. A magasságot megint könnyen leolvassuk az ábráról, ez az EC szakasz hossza. Behelyettesítve a képletbe: T=(3+2)/2 · 2=5 m².

Az előző két részeredményt csak összeadjuk, és megvan az alakzat területe. T=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Számítsd ki a következő ábra területét (feltételezd, hogy a tengelyen a méretek méterben vannak megadva):

Valószínűleg itt is első pillantásra látszik, hogy egy képlet nem lesz elég, és valamilyen módon át kell alakítanunk az alakzatot. A következőképpen számolunk: kiszámítjuk annak a „négyzetnek” a területét, hozzáadjuk a kör területének háromnegyedét, és kivonjuk a bal alsó kis háromszöget:

A négyzet területét egyszerűen kiszámítjuk: T₁ = 2 · 2 = 4 m². A második lépésben kiszámítjuk a kör területét. Megint csak behelyettesítünk a képletbe, és kiszámítjuk: T₂ = 1² · π · 3/4 = 3π/4. Már csak a DEI háromszög területét kell kiszámítani, és kivonni a négyzet területéből. Az EI oldal és a hozzá tartozó DI magasság egyaránt 1 m hosszú, így a háromszög területe T₃ = ½.

Az utolsó lépésben összeadjuk és kivonjuk a részeredményeket: T = T₁ + T₂ − T₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².