Обеми и лица

Първо съвсем накратко за теорията, за всеки случай. Периметърът на фигура е сборът от дължините на всичките ѝ страни, изразява се в метри и производни единици. Периметърът обикновено се означава с буквата P. Лицето на фигура е големината на частта от равнината, която фигурата заема, пресмята се в квадратни метра, а математически квадратният метър се записва с помощта на двойка в горен индекс: m². Лицето обикновено се записва с буквата S. Обемът е пространството, което заема тялото, просто казано, това показва колко вода можеш да налееш вътре. Обемът се пресмята в кубични метра и производни единици, а пространствените мерки се записват с помощта на тройка в горен индекс: m³. Обемът обикновено се записва с буквата V. Лицето и обемът могат да се изразяват и в други единици (и в ежедневието вероятно по-използвани), като ар или хектар за лице и литър за обем. Лице или обем по принцип могат да се пресметнат с интеграли.

Квадрат и правоъгълник

И двете фигури са двуизмерни, затова тук ще намерим само периметър и лице. При квадрата всичко е най-просто, защото квадратът още по определение има всички страни равни. Затова когато пресмятаме периметъра на квадрата, ни е достатъчно да вземем едната му страна и да я умножим по четири (броя на страните): P=4a. Периметърът на правоъгълника е само малко по-сложен. Правоъгълникът винаги има две двойки равни страни, затова има два пътя: или просто да съберем всички страни, или да вземем дължините на две различни страни, да ги умножим по две и да съберем: P=2a+2b.

Лицето на квадрата не е по-сложно от периметъра му. Вземаш едната му страна и я умножаваш по другата. Тъй като квадратът има всички страни равни, получава се формулата: S = a·a = a². При правоъгълника е съвсем същото като при квадрата, само с тази разлика, че не всички страни на правоъгълника са равни и затова трябва да умножиш две различни, перпендикулярни една на друга страни: S=a·b.

Успоредник

Успоредникът е фигура, подобна на правоъгълник, но с две срещуположни страни, наклонени (скосени), вж. фигурата под този абзац. Периметърът на успоредника е прост и по същество същият като при правоъгълника: P=2a+2b, но лицето е вече малко по-интересно. За да пресметнем лицето на успоредника, трябва да го превърнем в правоъгълник, иначе няма да стане. А как да го превърнем в правоъгълник, ни показва следващата фигура:

Първо отрязваме излишната част на успоредника (оцветената) и я прикрепяме от другата страна на успоредника, с което получаваме правоъгълник:

Едва сега можем лесно да пресметнем лицето на успоредника, формулата ще е същата като при правоъгълника. Графичното превръщане на успоредник обаче не е удобно, затова се използва проста формула, която произтича именно от това превръщане. Страната a е идентична както при правоъгълника, така и при успоредника, различава се само другата страна. Затова при успоредника вместо страната b ще пресмятаме с височината на успоредника, която е равна на страната b в преобразувания правоъгълник. Нагледно го показва следващата фигура (ще умножаваме страните, откроени в червено):

Формулата изглежда така: S=h_a·a.

Трапец

Периметърът е ясен, събираме всички страни. Лицето на трапеца е вече по-твърд орех. Теоретично бихме могли да постъпим както при успоредника, но не знаем дали да вземем по-дългата (AB), или по-късата (CD) страна.

Затова се използва хитрост – пресмятаме средното аритметично на дължините на двете успоредни страни и работим с него. Събираме дължините на страните AB и CD, разделяме на две и после пресмятаме както при успоредника – умножаваме още по височината и получаваме лицето. S=(a+c)/2 · h_a.

Триъгълник

Триъгълникът е двуизмерна фигура и като такава при него можем да пресмятаме периметър и лице, не може да има и няма обем. Периметърът на триъгълника пресмятаме, като съберем всичките му страни. Общата формула би изглеждала така: P=a+b+c. Разбира се, можем да намерим частни случаи, например ясно е, че равностранният триъгълник има всички страни равни и затова ни е достатъчно да знаем дължината на едната страна и да я умножим по три. Тогава формулата би изглеждала така: P'=3a.

За лицето на триъгълника ни е нужна една малка промяна. За да пресметнем лицето на триъгълник, трябва да го превърнем в успоредник (подобно на това как превръщахме успоредника в правоъгълник). Как да превърнем триъгълник в успоредник, ни показва отново следващата рисунка:

От тази фигура вече би трябвало да е ясно как се пресмята лицето на триъгълник – постъпваш по същия начин, както при лицето на успоредник, само че резултата делиш на две: S=(h_c·c)/2

Кръг

Особеното при кръга е, че нито дължината на окръжността, нито лицето му могат да се запишат точно с десетично число. Каквото и да искаме да пресмятаме с кръг, вероятно никога не можем да минем без константата пи – π. Десетичният запис на π е безкраен, това е ирационално число, но приблизителната му стойност, с която обикновено се пресмята (ако нямаш стойността му запаметена в калкулатора), е 3,14.

Нека сега преминем към формулите. Още древните мислители са търсели как да пресметнат дължината на окръжност (окръжността е само линията, дъгата, няма вътрешност и затова няма лице, докато кръгът има лице, защото в него се включва и вътрешността на окръжността). Установено е, че отношението на диаметъра на кръга (който лесно се измерва) към дължината на окръжността му е винаги едно и също, и с времето е било пресметнато и колко пъти дължината на окръжността е по-голяма от диаметъра ѝ. И, о, чудо – това е именно пи пъти. Дължината на окръжността пресмятаме така: C=π·d=2·π·r (по-често се дава втората, по-сложна формула, защото обикновено знаем по-скоро радиуса, отколкото диаметъра), където d е диаметърът, а r е радиусът на кръга.

Лицето на кръга е S=π·r², не знам какво повече да кажа :-).

Куб и правоъгълен паралелепипед

Това са първите пространствени тела, при тях ще определяме лице на повърхнина и обем. Тъй като кубът има шест стени и всички стени са квадрати, начинът е ясен: пресмяташ лицето на една стена и го умножаваш по шест. S₁=6a². При правоъгълния паралелепипед е по-трудоемко, защото има няколко различни стени. По същество е достатъчно да пресметнеш лицата на три различни стени, да ги събереш и да умножиш по две и имаш лицето на повърхнината на правоъгълния паралелепипед: S₁=(a·b + b·c + a·c)·2.

Обемът на куба се пресмята съвсем като лицето на квадрата, само с дребната разлика, че не бива да забравяме, че се намираме в пространството. Просто е достатъчно да вземеш дължината на ръба и да я повдигнеш на трета степен: V=a³. При правоъгълния паралелепипед е подобно, само че трябва да умножим трите ръба поотделно, защото са с различна дължина: V=a·b·c.

Кълбо

Лицето на сфера (= повърхнината на кълбо) се пресмята S=4·π·r², а обемът на кълбо е V=4/3·π·r³. Ако искаш да прочетеш доста сложното извеждане на формулата за обема на кълбо, потърси принципа на Кавалиери.

Цилиндър

Лицето на повърхнината на цилиндър пресмятаме като сбор от лицата на двете основи и лицето на околната повърхнина. Основата е обикновен кръг, затова лицето на едната основа е равно на лицето на кръг, т.е. лицето на едната основа пресмятаме така:

$$B=\pi \cdot r^2$$

Околната повърхнина на цилиндъра не е нищо друго освен „навит“ правоъгълник, на който дължината на едната страна е равна на височината на цилиндъра (означаваме я h), а другата е равна на дължината на окръжността при основата. Така лицето на околната повърхнина е равно на:

$$S=h\cdot 2\pi r$$

Лицето на повърхнината на целия цилиндър е равно на:

$$S_1=2\cdot B+S=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

Обемът на цилиндъра е по-прост, това е височината, умножена по лицето на основата. Лицето на основата вече пресметнахме в предишната стъпка. Резултат:

$$V=h\cdot \pi r^2$$

Пирамида и конус

Лицето на повърхнината на пирамида по принцип се пресмята като сбор от лицето на основата и лицата на всички стени. Обща формула за това всъщност няма. Обемът на пирамида има нещо общо с пресмятането на лицето на триъгълник – вземаш лицето на основата и го умножаваш по височината на пирамидата. Резултатът след това делиш на три и имаш обема на пирамидата. V=(B · h)/3, където B е лицето на основата.

Лицето на повърхнината на прав кръгов конус е равно на сбора от лицето на основата и лицето на околната повърхнина. Лицето на основата е ясно, това е обикновен кръг, т.е. B=π·r². Лицето на околната повърхнина е малко по-сложно, трябва да си представиш, че „разгъваш“ околната повърхнина на масата и така се получава някакъв кръгов сектор, чието лице е равно на: S=π·r·l, където l е образуващата (разстоянието от върха на конуса до ръба на основата, по същество е нещо подобно на околния ръб при пирамидата). Обемът на конус е V=(π · r² · h)/3, където h е височината на конуса.

Пример за лица

Пресметни лицето на следващата фигура (приеми, че мерките на оста са в метри):

На пръв поглед установяваме, че тази фигура е някакъв общ многоъгълник, към който като цяло не можем да приложим никаква формула. Затова трябва да я разделим на по-малки части, чието лице вече можем да пресметнем. Най-удобно ще е, ако от долната част направим триъгълник, а от горната – трапец. Разделянето показва следващата фигура:

Сега пресмятаме лицето на триъгълника ABE по формулата S=(a · h_a)/2. Страната a ще е в този случай страната AE, а височината към тази страна е отсечката EB. Виждаме, че |AE|=3 m и |EB|=1 m. Като заместим във формулата, получаваме: S=(3 · 1)/2=1,5 m².

Във втората стъпка пресмятаме лицето на трапеца по формулата S=(a+c)/2 · h_a. Страната a ще е в нашия случай страната AE, а страната c – страната DC. Височината отново лесно отчитаме от фигурата, това е дължината на отсечката EC. Като заместим във формулата, получаваме: S=(3+2)/2 · 2=5 m².

Просто събираме двата частични резултата и получаваме лицето на фигурата. S=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Пресметни лицето на следващата фигура (приеми, че мерките на оста са в метри):

Вероятно отново на пръв поглед е ясно, че една формула няма да ни стигне и че ще трябва да променим фигурата по някакъв начин. Ще го пресметнем по следния начин: пресмятаме лицето на онзи „квадрат“, прибавяме към него три четвърти от лицето на кръг и изваждаме онзи малък триъгълник долу вляво:

Лицето на квадрата пресмятаме просто: S₁ = 2 · 2 = 4 m². Във втората стъпка пресмятаме лицето на кръга. Отново просто заместваме във формулата и пресмятаме S₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Остава само да пресметнем лицето на триъгълника DEI и да го извадим от лицето на квадрата. Страната EI и височината ѝ DI имат една и съща дължина 1 m, така че лицето на триъгълника ще е S₃ = ½.

В последната стъпка събираме и изваждаме частичните резултати: S = S₁ + S₂ − S₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².