Pinta-alat ja tilavuudet

Aluksi hyvin tiiviisti teoriaa, siltä varalta että joku ei sitä tiedä. Kuvion piiri on kaikkien sen sivujen pituuksien summa, ja se ilmaistaan metreinä ja niistä johdetuilla yksiköillä. Piiriä merkitään yleensä kirjaimella p. Kuvion pinta-ala on kuvion muodostaman alueen suuruus. Se lasketaan neliömetreinä, ja neliömetri merkitään matemaattisesti yläindeksin kakkosella: m². Pinta-alaa merkitään tavallisesti kirjaimella A. Tilavuus on kappaleen täyttämä tila, yksinkertaisesti sanottuna se kertoo, kuinka paljon vettä sinne voi kaataa. Tilavuus lasketaan kuutiometreinä ja niistä johdetuilla yksiköillä, ja avaruudelliset mitat kirjoitetaan yläindeksin kolmosella: m³. Tilavuutta merkitään tavallisesti kirjaimella V. Pinta-alan ja tilavuuden voi ilmaista myös muilla (ja arjessa luultavasti yleisemmin käytetyillä) yksiköillä, kuten aarilla tai hehtaarilla pinta-alalle ja litralla tilavuudelle. Pinta-alan tai tilavuuden voi yleisesti laskea myös integraalien avulla.

Neliö ja suorakulmio

Molemmat kuviot ovat kaksiulotteisia, joten niille löytyy vain piiri ja pinta-ala. Neliössä kaikki on yksinkertaisinta, koska neliön kaikki sivut ovat jo määritelmän mukaan yhtä pitkät. Kun siis lasketaan neliön piiriä, riittää ottaa yksi neliön sivu ja kertoa se neljällä (sivujen lukumäärällä): p=4a. Suorakulmion piiri on vain hieman monimutkaisempi. Suorakulmiossa on aina kaksi paria yhtä pitkiä sivuja, joten vaihtoehtoja on kaksi: joko lasketaan kaikki sivut yksinkertaisesti yhteen tai otetaan kahden eri sivun pituudet, kerrotaan ne kahdella ja lasketaan yhteen: p=2a+2b.

Neliön pinta-ala ei ole yhtään piiriä monimutkaisempi. Otat yhden sivun ja kerrot sen toisella sivulla. Koska neliön kaikki sivut ovat yhtä pitkät, syntyy kaava: A = a·a = a². Suorakulmio toimii täysin samoin kuin neliö, sillä erotuksella, että suorakulmion kaikki sivut eivät ole yhtä pitkät, joten on kerrottava kaksi eri, toisiaan vastaan kohtisuoraa sivua: A=a·b.

Suunnikas

Suunnikas on kuvio, joka on samanlainen kuin suorakulmio, mutta jonka kaksi vastakkaista sivua on vinossa, katso kuva tämän kappaleen alla. Suunnikkaan piiri on yksinkertainen ja periaatteessa sama kuin suorakulmiolla: p=2a+2b, mutta pinta-ala onkin jo hieman mielenkiintoisempi. Jotta voisimme laskea suunnikkaan pinta-alan, meidän on tehtävä siitä suorakulmio, muuten se ei onnistu. Miten siitä tehdään suorakulmio, näkyy seuraavasta kuvasta:

Ensin leikataan pois suunnikkaan ylimääräinen osa (väritetty osa) ja liitetään se suunnikkaan toiselle puolelle, jolloin syntyy suorakulmio:

Vasta nyt voimme helposti laskea suunnikkaan pinta-alan, ja kaava on sama kuin suorakulmiolla. Suunnikkaan graafinen muuntaminen ei kuitenkaan ole kätevää, joten käytetään yksinkertaista kaavaa, joka perustuu juuri tähän muunnokseen. Sivu a on nimittäin sama sekä suorakulmiossa että suunnikkaassa, ja vain toinen sivu on eri. Suunnikkaalla siis sivun b sijaan lasketaan suunnikkaan korkeudella, joka on yhtä suuri kuin sivu b muunnetussa suorakulmiossa. Seuraava kuva näyttää asian selkeästi (kerrottavat sivut on korostettu punaisella):

Kaava on tällainen: A=h_a·a.

Puolisuunnikas

Piiri on selvä: lasketaan kaikki sivut yhteen. Puolisuunnikkaan pinta-ala on jo kovempi pähkinä. Teoriassa voisimme edetä samoin kuin suunnikkaalla, mutta emme tiedä, pitäisikö ottaa pidempi (AB) vai lyhyempi (CD) sivu.

Siksi käytetään kikkaa: lasketaan näiden kahden yhdensuuntaisen sivun keskimääräinen pituus ja lasketaan sillä. Lasketaan siis yhteen sivujen AB ja CD pituudet, jaetaan kahdella ja lasketaan sitten samoin kuin suunnikkaalla: kerrotaan vielä korkeudella, ja pinta-ala on valmis. A=(a+c)/2 · h_a.

Kolmio

Kolmio on kaksiulotteinen kuvio, ja siksi sille voi laskea piirin ja pinta-alan, mutta sillä ei voi olla tilavuutta eikä sillä sitä olekaan. Kolmion piiri lasketaan laskemalla kaikki sen sivut yhteen. Yleinen kaava olisi siis tällainen: p=a+b+c. Voimme tietysti löytää erikoistapauksia: esimerkiksi on selvää, että tasasivuisen kolmion kaikki sivut ovat yhtä pitkät, joten riittää tuntea yhden sivun pituus ja kertoa se kolmella. Silloin kaava olisi tällainen: p'=3a.

Kolmion pinta-alaa varten tarvitsemme yhden pienen muunnoksen. Jotta voisimme laskea kolmion pinta-alan, meidän on tehtävä siitä suunnikas (samoin kuin teimme suunnikkaasta suorakulmion). Miten kolmiosta tehdään suunnikas, näkyy taas seuraavasta piirroksesta:

Tästä kuvasta pitäisi jo selvitä, miten kolmion pinta-ala lasketaan: etenet samoin kuin laskisit suunnikkaan pinta-alan, mutta jaat tuloksen kahdella: A=(h_c·c)/2

Ympyrä

Ympyrä on erityinen kuvio siinä, että sen piiriä tai pinta-alaa ei voi kirjoittaa tarkasti desimaaliluvuksi. Mitä tahansa ympyrällä haluammekin laskea, tuskin koskaan pääsemme ilman vakiota pii — π. Luvun π desimaalikehitelmä on ääretön, kyseessä on irrationaaliluku, mutta sen likiarvo, jota yleensä käytetään (ellei sen arvoa ole tallennettu laskimeen), on 3,14.

Siirrytään nyt kaavoihin. Jo muinaiset ajattelijat selvittivät, miten lasketaan ympyrän kehän pituus, tarkemmin ympyrän (ympyrän kehä on vain se viiva eli kaari, kehällä ei ole sisäosaa eikä siis pinta-alaa, kun taas ympyrällä pinta-ala on, koska siihen lasketaan mukaan myös kehän sisäpuoli). Huomattiin, että ympyrän halkaisijan (joka on helppo mitata) suhde ympyrän kehän pituuteen on aina sama, ja ajan myötä laskettiin myös, kuinka monta kertaa kehä on halkaisijaa pidempi. Ja kas, se on juuri pii kertaa. Ympyrän kehän pituus lasketaan siis p=π·d=2·π·r (useammin esitetään jälkimmäinen, monimutkaisempi kaava, koska yleensä tunnemme pikemmin säteen kuin halkaisijan), missä d on halkaisija ja r on ympyrän säde.

Ympyrän pinta-ala on sitten A=π·r², en tiedä, mitä siihen voisi enempää sanoa :-).

Kuutio ja suorakulmainen särmiö

Nämä ovat ensimmäiset avaruuskappaleet, joille määritämme siis pinta-alan ja tilavuuden. Koska kuutiolla on kuusi tahkoa ja kaikki tahkot ovat neliöitä, etenemistapa on selvä: lasket yhden tahkon pinta-alan ja kerrot sen kuudella. A=6a². Suorakulmaisella särmiöllä se on jo työläämpää, koska sillä on useita erilaisia tahkoja. Periaatteessa riittää laskea kolmen eri tahkon pinta-alat, laskea ne yhteen ja kertoa kahdella, ja saat särmiön pinnan pinta-alan: A=(a·b + b·c + a·c)·2.

Kuution tilavuus lasketaan täsmälleen samoin kuin neliön pinta-ala, sillä pienellä erolla, ettei saa unohtaa olevansa avaruudessa. Yksinkertaisesti riittää ottaa sivun pituus ja korottaa se kolmanteen potenssiin: V=a³. Suorakulmaisella särmiöllä on samoin, vain nuo kolme sivua on kerrottava erikseen, koska ne ovat eri pituisia: V=a·b·c.

Pallo

Pallon pinta-ala (= pallopinta) lasketaan A=4·π·r² ja pallon tilavuus on V=4/3·π·r³. Jos haluat lukea melko monimutkaisen johdon pallon tilavuuden laskemiselle, katso Cavalierin periaate. Pallon pinta-alan johto löytyy esimerkiksi tämän sivuston foorumilta.

Lieriö

Lieriön pinta-ala lasketaan kahden pohjan pinta-alojen ja vaipan pinta-alan summana. Pohja on tavallinen ympyrä, joten yhden pohjan pinta-ala on yhtä suuri kuin ympyrän pinta-ala, eli yhden pohjan pinta-ala lasketaan näin:

$$A_p=\pi \cdot r^2$$

Lieriön vaippa ei ole muuta kuin ”kääritty” suorakulmio, jossa yhden sivun pituus on yhtä suuri kuin lieriön korkeus (merkitään h) ja toinen on yhtä suuri kuin pohjan ympyrän kehän pituus. Vaipan pinta-ala on siis:

$$A_v=h\cdot 2\pi r$$

Koko lieriön pinta-ala on siis:

$$A=2\cdot A_p+A_v=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

Lieriön tilavuus on yksinkertaisempi: korkeus kerrottuna pohjan pinta-alalla. Pohjan pinta-alan laskimme jo edellisessä vaiheessa. Tulos:

$$V=h\cdot \pi r^2$$

Pyramidi ja kartio

Pyramidin pinta-ala lasketaan yleisesti pohjan pinta-alan ja kaikkien tahkojen pinta-alojen summana. Yleistä kaavaa siihen ei oikein ole. Pyramidin tilavuudella on jotain yhteistä kolmion pinta-alan laskemisen kanssa: otat pohjan pinta-alan ja kerrot sen pyramidin korkeudella. Tuloksen jaat sitten kolmella, ja pyramidin tilavuus on valmis. V=(A_p · h)/3, missä A_p on pohjan pinta-ala.

Suoran ympyräkartion pinta-ala on yhtä suuri kuin pohjan ja vaipan pinta-alojen summa. Pohjan pinta-ala on selvä, se on tavallinen ympyrä, siis A=π·r². Vaipan pinta-ala on hieman monimutkaisempi: sinun on kuviteltava, että ”avaat” vaipan pöydälle, jolloin syntyy eräänlainen ympyrän sektori, jonka pinta-ala on: A=π·r·s, missä s on vaipan sivujanan pituus (kartion kärjen etäisyys pohjan reunasta, periaatteessa jotain samankaltaista kuin pyramidin särmä). Kartion tilavuus on V=(π · r² · h)/3, missä h on kartion korkeus.

Esimerkki pinta-aloista

Laske seuraavan kuvion pinta-ala (oleta, että akselin mitat ovat metreinä):

Ensi silmäyksellä huomaamme, että tämä kuvio on jonkinlainen mielivaltainen monikulmio, johon emme voi soveltaa kokonaisuutena mitään kaavaa. Meidän on siis jaettava se pienempiin osiin, jotka jo osaamme laskea. Helpointa on, jos alaosasta tehdään kolmio ja yläosasta puolisuunnikas. Jaon näyttää seuraava kuva:

Lasketaan nyt kolmion ABE pinta-ala kaavalla A=(a · h_a)/2. Sivu a on tässä tapauksessa sivu AE ja tähän sivuun piirretty korkeus on sivu EB. Näemme, että |AE|=3 m ja |EB|=1 m. Sijoittamalla kaavaan saamme: A=(3 · 1)/2=1,5 m².

Toisessa vaiheessa lasketaan puolisuunnikkaan pinta-ala kaavalla A=(a+c)/2 · h_a. Sivu a on tässä tapauksessa sivu AE ja sivu c on sivu DC. Korkeuden luemme taas helposti kuvasta, se on janan EC pituus. Sijoittamalla kaavaan saamme: A=(3+2)/2 · 2=5 m².

Edelliset kaksi osatulosta vain lasketaan yhteen, ja saamme kuvion pinta-alan. A=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Laske seuraavan kuvion pinta-ala (oleta, että akselin mitat ovat metreinä):

Ehkä on taas ensi silmäyksellä selvää, että yksi kaava ei riitä ja että kuviota on muokattava jollakin tavalla. Lasketaan se seuraavasti: lasketaan tuon ”neliön” pinta-ala, lisätään siihen kolme neljäsosaa ympyrän pinta-alasta ja vähennetään pieni kolmio vasemmalta alhaalta:

Neliön pinta-ala lasketaan yksinkertaisesti: A₁ = 2 · 2 = 4 m². Toisessa vaiheessa lasketaan ympyrän pinta-ala. Taas vain sijoitetaan kaavaan ja lasketaan A₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Jäljelle jää enää laskea kolmion DEI pinta-ala ja vähentää se neliön pinta-alasta. Sekä sivun EI että sen korkeuden DI pituus on 1 m, joten kolmion pinta-ala on A₃ = ½.

Viimeisessä vaiheessa osatulokset lasketaan yhteen ja vähennetään: A = A₁ + A₂ − A₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².