Perímetros, áreas y volúmenes

Primero, muy brevemente, un poco de teoría, por si alguien no la recuerda. El perímetro de una figura es la suma de las longitudes de todos sus lados y se expresa en metros y sus unidades derivadas. El perímetro se suele designar con la letra P. El área de una figura es la medida de la superficie que ocupa, se calcula en metros cuadrados y matemáticamente el metro cuadrado se expresa con un 2 en el exponente: m². El área se escribe normalmente con la letra A. El volumen es el espacio que ocupa un cuerpo; dicho de forma sencilla, expresa cuánta agua cabe dentro. El volumen se calcula en metros cúbicos y sus unidades derivadas, y las medidas del espacio se escriben con un 3 en el exponente: m³. El volumen se escribe normalmente con la letra V. El área y el volumen pueden expresarse también en otras unidades (y probablemente más usadas en la vida cotidiana), como el área o la hectárea para la superficie y el litro para el volumen. El área o el volumen se pueden calcular, en general, mediante integrales.

Cuadrado y rectángulo

Ambas figuras son bidimensionales, así que solo tienen perímetro y área. En el cuadrado todo es más sencillo, porque por definición tiene todos los lados de la misma longitud. Por tanto, para calcular el perímetro del cuadrado nos basta tomar un lado y multiplicarlo por cuatro (el número de lados): P=4a. El perímetro del rectángulo es solo un pelín más complicado. El rectángulo tiene siempre dos pares de lados iguales, así que hay dos caminos: o sumar todos los lados sin más, o tomar las longitudes de dos lados distintos, multiplicarlas por dos y sumarlas: P=2a+2b.

El área del cuadrado no es más complicada que su perímetro. Tomas un lado y lo multiplicas por el otro lado. Como el cuadrado tiene todos los lados de la misma longitud, resulta la fórmula: A = a·a = a². El rectángulo funciona exactamente igual que el cuadrado, con la diferencia de que el rectángulo no tiene todos los lados iguales y por eso tienes que multiplicar dos lados distintos, perpendiculares entre sí: A=a·b.

Paralelogramo

El paralelogramo es una figura parecida al rectángulo, pero con dos lados opuestos inclinados, mira la figura debajo de este párrafo. El perímetro del paralelogramo es sencillo y, en esencia, igual que en el rectángulo: P=2a+2b; en cambio, el área es algo más interesante. Para calcular el área del paralelogramo tenemos que convertirlo en un rectángulo, de lo contrario no se puede. Y cómo lo convertimos en rectángulo nos lo muestra la siguiente figura:

Primero cortamos la parte sobrante del paralelogramo (la parte coloreada) y la pegamos en el otro lado del paralelogramo, con lo que obtenemos un rectángulo:

Solo ahora podemos calcular fácilmente el área del paralelogramo; la fórmula será la misma que en el caso del rectángulo. Sin embargo, la conversión gráfica del paralelogramo no es cómoda, así que se usa una fórmula sencilla que parte justo de esa conversión. El lado a es idéntico tanto en el rectángulo como en el paralelogramo, solo difiere el otro lado. Por eso, en el paralelogramo, en lugar del lado b usaremos la altura del paralelogramo, que es igual al lado b del rectángulo transformado. La siguiente figura lo muestra con claridad (multiplicaremos los lados resaltados en rojo):

La fórmula es la siguiente: A=h_a·a.

Trapecio

El perímetro está claro: sumamos todos los lados. El área del trapecio ya es un hueso duro de roer. En teoría podríamos proceder igual que en el paralelogramo, pero no sabemos si tomar el lado más largo (AB) o el más corto (CD).

Por eso se usa un truco: calculamos la longitud media de esos dos lados paralelos y trabajamos con ella. Sumamos, pues, la longitud de los lados AB y CD, dividimos entre dos y a partir de ahí calculamos igual que en el paralelogramo: lo multiplicamos por la altura y tenemos el área. A=(a+c)/2 · h_a.

Triángulo

El triángulo es una figura bidimensional y, como tal, podemos calcular su perímetro y su área; no puede tener volumen y, de hecho, no lo tiene. El perímetro del triángulo lo calculamos sumando todos sus lados. Por tanto, la fórmula general sería: P=a+b+c. Por supuesto, podemos encontrar casos particulares; por ejemplo, está claro que el triángulo equilátero tiene todos los lados de la misma longitud y nos basta conocer la longitud de un lado y multiplicarla por tres. Entonces la fórmula sería así: P'=3a.

Para el área del triángulo necesitaremos una pequeña modificación. Para poder calcular el área de un triángulo, tenemos que convertirlo en un paralelogramo (de forma parecida a como convertimos el paralelogramo en un rectángulo). Cómo convertir el triángulo en un paralelogramo nos lo muestra de nuevo el siguiente dibujito:

Con esta figura ya debería estar claro cómo calcular el área del triángulo: procedes igual que si calcularas el área de un paralelogramo, solo que divides el resultado entre dos: A=(h_c·c)/2

Círculo

El círculo es una figura peculiar en el sentido de que su perímetro y su área no se pueden escribir exactamente como número decimal. Hagamos lo que hagamos con un círculo, casi nunca podremos prescindir de la constante pi – π. La expresión decimal de π es infinita, es un número irracional, pero su valor aproximado, con el que se suele calcular (si no tienes su valor guardado en la calculadora), es 3,14.

Pasemos ahora a las fórmulas. Ya los pensadores antiguos averiguaron cómo calcular el perímetro del círculo, o más bien la longitud de la circunferencia (la circunferencia es solo la línea, el arco; la circunferencia no tiene interior y por tanto no tiene área, mientras que el círculo sí tiene área, porque se cuenta también el interior de la circunferencia). Se comprobó que la razón entre el diámetro del círculo (que se puede medir fácilmente) y la longitud de la circunferencia es siempre la misma y con el tiempo se calculó también cuántas veces es mayor la longitud de la circunferencia que su diámetro. Y, sorpresa, es justo pi veces. La longitud de la circunferencia la calculamos, por tanto, así: L=π·d=2·π·r (se cita más a menudo la segunda fórmula, la más complicada, porque normalmente conocemos el radio mejor que el diámetro), donde d es el diámetro y r es el radio del círculo.

El área del círculo es entonces A=π·r²; no sé qué más decir al respecto :-).

Cubo y ortoedro

Estos son los primeros cuerpos geométricos del espacio, así que en ellos determinaremos el área total y el volumen. Como el cubo tiene seis caras y todas son cuadrados, el procedimiento está claro: calculas el área de una cara y la multiplicas por seis. A_T=6a². En el ortoedro es más laborioso, porque tiene varias caras distintas. En esencia basta calcular el área de tres caras distintas, sumarlas y multiplicar por dos, y tienes el área total del ortoedro: A_T=(a·b + b·c + a·c)·2.

El volumen del cubo se calcula exactamente igual que el área del cuadrado, con la pequeña diferencia de que no debemos olvidar que estamos en el espacio. Basta tomar la longitud del lado y elevarla a la tercera potencia: V=a³. En el ortoedro es parecido, solo que tenemos que multiplicar por separado las tres dimensiones, porque tienen longitudes distintas: V=a·b·c.

Esfera

El área de la superficie de la esfera (= superficie esférica) se calcula como A_T=4·π·r² y el volumen de la esfera es V=4/3·π·r³. Si quieres leer la deducción bastante complicada del cálculo del volumen de la esfera, echa un vistazo al principio de Cavalieri.

Cilindro

El área total del cilindro la calculamos como la suma de las áreas de las dos bases más el área de la superficie lateral. La base es un círculo normal, así que el área de una base será igual al área del círculo; es decir, el área de una base se calcula así:

$$A_B=\pi \cdot r^2$$

La superficie lateral del cilindro no es más que un rectángulo «enrollado», en el que la longitud de un lado es igual a la altura del cilindro (la designamos h) y la del otro es igual a la longitud de la circunferencia de la base. Por tanto, el área de la superficie lateral es igual a:

$$A_L=h\cdot 2\pi r$$

El área total del cilindro entero es, por tanto, igual a:

$$A_T=2\cdot A_B+A_L=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

El volumen del cilindro es más sencillo: es la altura multiplicada por el área de la base. El área de la base ya la hemos calculado en el paso anterior. Resultado:

$$V=h\cdot \pi r^2$$

Pirámide y cono

El área total de la pirámide se calcula en general como la suma del área de la base y las áreas de todas las caras. En realidad no hay una fórmula general para ello. El volumen de la pirámide tiene algo en común con el cálculo del área del triángulo: tomas el área de la base y la multiplicas por la altura de la pirámide. El resultado lo divides entre tres y tienes el volumen de la pirámide. V=(A_B · h)/3, donde A_B es el área de la base.

El área total del cono es igual a la suma del área de la base y el área de la superficie lateral. El área de la base está clara: es un círculo corriente, es decir, A_B=π·r². El área de la superficie lateral es algo más complicada: tienes que imaginar que «desenrollas» esa superficie sobre la mesa y así obtienes un sector circular cuya área es igual a: A_L=π·r·g, donde g es el radio de la superficie lateral, la generatriz (la distancia del vértice del cono al borde de la base, en esencia algo parecido a la arista de la pirámide). El volumen del cono es V=(π · r² · h)/3, donde h es la altura del cono.

Ejemplo de áreas

Calcula el área de la siguiente figura (supón que las medidas de los ejes están en metros):

A primera vista vemos que esta figura es una especie de polígono cualquiera, al que, en conjunto, no podemos aplicar ninguna fórmula. Tenemos, pues, que dividirlo en partes más pequeñas que sí sepamos calcular. Lo más práctico será convertir la parte inferior en un triángulo y la superior en un trapecio. La división la muestra la siguiente figura:

Ahora calculamos el área del triángulo ABE con la fórmula A=(a · h_a)/2. El lado a será en este caso el lado AE y la altura sobre este lado será el lado EB. Vemos que |AE|=3 m y |EB|=1 m. Sustituyendo en la fórmula obtenemos: A=(3 · 1)/2=1,5 m².

En el segundo paso calculamos el área del trapecio con la fórmula A=(a+c)/2 · h_a. El lado a será en nuestro caso el lado AE y el lado c, el lado DC. La altura la leemos de nuevo fácilmente de la figura: es la longitud del segmento EC. Sustituyendo en la fórmula obtenemos: A=(3+2)/2 · 2=5 m².

Los dos resultados parciales anteriores solo hay que sumarlos y tenemos el área resultante de la figura. A=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Calcula el área de la siguiente figura (supón que las medidas de los ejes están en metros):

Probablemente de nuevo se ve a primera vista que una sola fórmula no nos bastará y que tendremos que modificar la figura de alguna manera. Lo calcularemos del siguiente modo: calcularemos el área de ese «cuadrado», le sumaremos tres cuartos del área de un círculo y restaremos ese pequeño triángulo de abajo a la izquierda:

El área del cuadrado la calculamos de forma sencilla: A₁ = 2 · 2 = 4 m². En el segundo paso calculamos el área del círculo. De nuevo basta sustituir en la fórmula y calcular A₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Solo queda calcular el área del triángulo DEI y restarla del área del cuadrado. El lado EI y su altura DI miden ambos 1 m, así que el área del triángulo será A₃ = ½.

En el último paso sumamos y restamos los resultados parciales: A = A₁ + A₂ − A₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².