Όγκοι και εμβαδά

Πρώτα πολύ σύντομα λίγη θεωρία, μήπως κάποιος δεν την ξέρει. Η περίμετρος ενός σχήματος είναι το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του, εκφράζεται σε μέτρα και σε παράγωγες μονάδες. Η περίμετρος συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα Π. Το εμβαδόν ενός σχήματος είναι το μέγεθος της επιφάνειας που σχηματίζει το σχήμα, υπολογίζεται σε τετραγωνικά μέτρα και μαθηματικά το τετραγωνικό μέτρο εκφράζεται με το δύο ως εκθέτη: m². Το εμβαδόν συνήθως γράφεται με το γράμμα E. Ο όγκος είναι ο χώρος που καταλαμβάνει ένα στερεό, με απλά λόγια εκφράζει πόσο νερό μπορείς να βάλεις μέσα του. Ο όγκος υπολογίζεται σε κυβικά μέτρα και παράγωγες μονάδες και τα τρισδιάστατα μεγέθη γράφονται με το τρία ως εκθέτη: m³. Ο όγκος συνήθως γράφεται με το γράμμα V. Το εμβαδόν και τον όγκο μπορούμε να τα εκφράσουμε και σε άλλες μονάδες (που ίσως χρησιμοποιούνται περισσότερο στην καθημερινή ζωή), όπως το άριο ή το εκτάριο για το εμβαδόν και το λίτρο για τον όγκο. Το εμβαδόν και τον όγκο μπορούμε γενικά να τα υπολογίσουμε με ολοκληρώματα.

Τετράγωνο και ορθογώνιο

Και τα δύο σχήματα είναι δισδιάστατα, επομένως εδώ βρίσκουμε μόνο περίμετρο και εμβαδόν. Στο τετράγωνο είναι όλα πιο απλά, επειδή το τετράγωνο εξ ορισμού έχει όλες τις πλευρές ίσες. Επομένως, όταν υπολογίζουμε την περίμετρο του τετραγώνου, αρκεί να πάρουμε μία πλευρά του τετραγώνου και να την πολλαπλασιάσουμε επί τέσσερα (τον αριθμό των πλευρών): Π=4a. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι λίγο πιο περίπλοκη. Το ορθογώνιο έχει πάντα δύο και δύο ίσες πλευρές, επομένως υπάρχουν δύο δρόμοι: είτε να προσθέσουμε απλώς όλες τις πλευρές είτε να πάρουμε τα μήκη δύο διαφορετικών πλευρών, να τα πολλαπλασιάσουμε επί δύο και να τα προσθέσουμε: Π=2a+2b.

Το εμβαδόν του τετραγώνου δεν είναι καθόλου πιο δύσκολο από την περίμετρό του. Παίρνεις τη μία του πλευρά και την πολλαπλασιάζεις με την άλλη. Επειδή το τετράγωνο έχει όλες τις πλευρές ίσες, προκύπτει ο τύπος: E = a·a = a². Το ορθογώνιο λειτουργεί εντελώς όμοια με το τετράγωνο, με τη μόνη διαφορά ότι το ορθογώνιο δεν έχει όλες τις πλευρές ίσες και γι' αυτό πρέπει να πολλαπλασιάσεις δύο διαφορετικές, κάθετες μεταξύ τους πλευρές: E=a·b.

Παραλληλόγραμμο

Το παραλληλόγραμμο είναι ένα σχήμα παρόμοιο με το ορθογώνιο, που έχει όμως δύο απέναντι πλευρές λοξές, δες το σχήμα κάτω από αυτή την παράγραφο. Η περίμετρος του παραλληλογράμμου είναι απλή και ουσιαστικά ίδια με του ορθογωνίου: Π=2a+2b, το εμβαδόν όμως είναι λίγο πιο ενδιαφέρον. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου, πρέπει να το μετατρέψουμε σε ορθογώνιο, αλλιώς δεν γίνεται. Και πώς το μετατρέπουμε σε ορθογώνιο μας δείχνει το επόμενο σχήμα:

Πρώτα κόβουμε το μέρος του παραλληλογράμμου που περισσεύει (το χρωματισμένο μέρος) και το κολλάμε στην άλλη πλευρά του παραλληλογράμμου, οπότε προκύπτει ορθογώνιο:

Μόνο τώρα μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου, ο τύπος θα είναι ίδιος όπως στο ορθογώνιο. Ωστόσο η γραφική μετατροπή του παραλληλογράμμου δεν είναι βολική, γι' αυτό χρησιμοποιείται ένας απλός τύπος που προκύπτει ακριβώς από αυτή τη μετατροπή. Η πλευρά a είναι δηλαδή ίδια τόσο στο ορθογώνιο όσο και στο παραλληλόγραμμο, διαφέρει μόνο η άλλη πλευρά. Εμείς λοιπόν στο παραλληλόγραμμο, αντί για την πλευρά b, θα υπολογίζουμε με το ύψος του παραλληλογράμμου, που ισούται με την πλευρά b στο διορθωμένο ορθογώνιο. Το δείχνει καθαρά το επόμενο σχήμα (θα πολλαπλασιάσουμε τις πλευρές που είναι τονισμένες με κόκκινο):

Ο τύπος έχει ως εξής: E=υ_a·a.

Τραπέζιο

Η περίμετρος είναι σαφής, αθροίζουμε όλες τις πλευρές μαζί. Το εμβαδόν του τραπεζίου είναι πιο σκληρό καρύδι. Θεωρητικά θα μπορούσαμε να προχωρήσουμε όπως στο παραλληλόγραμμο, ωστόσο δεν ξέρουμε αν πρέπει να πάρουμε τη μεγαλύτερη (AB) ή τη μικρότερη (CD) πλευρά.

Γι' αυτό χρησιμοποιείται ένα κόλπο – υπολογίζουμε το μέσο μήκος των δύο παράλληλων πλευρών και υπολογίζουμε με αυτό. Προσθέτουμε λοιπόν το μήκος της πλευράς AB και της CD, διαιρούμε με το δύο και μετά υπολογίζουμε όπως στο παραλληλόγραμμο – πολλαπλασιάζουμε ακόμη με το ύψος και έχουμε το εμβαδόν. E=(a+c)/2 · υ_a.

Τρίγωνο

Το τρίγωνο είναι δισδιάστατο σχήμα και ως τέτοιο μπορούμε να υπολογίσουμε περίμετρο και εμβαδόν, δεν μπορεί να έχει και δεν έχει όγκο. Την περίμετρο του τριγώνου την υπολογίζουμε προσθέτοντας όλες τις πλευρές του. Ο γενικός τύπος θα έμοιαζε λοιπόν έτσι: Π=a+b+c. Φυσικά μπορούμε να βρούμε και ειδικές περιπτώσεις, για παράδειγμα είναι σαφές ότι το ισόπλευρο τρίγωνο έχει όλες τις πλευρές ίσες και επομένως αρκεί να ξέρουμε το μήκος μίας πλευράς και να το πολλαπλασιάσουμε επί τρία. Τότε ο τύπος θα έμοιαζε έτσι: Π'=3a.

Για το εμβαδόν του τριγώνου θα χρειαστούμε μία μικρή τροποποίηση. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου, πρέπει να το μετατρέψουμε σε παραλληλόγραμμο (όπως από το παραλληλόγραμμο φτιάχναμε ορθογώνιο). Πώς φτιάχνουμε από το τρίγωνο παραλληλόγραμμο μας το δείχνει πάλι το επόμενο σκίτσο:

Από αυτό το σχήμα θα έπρεπε να είναι ήδη σαφές πώς υπολογίζεται το εμβαδόν του τριγώνου – θα προχωρήσεις όπως θα υπολόγιζες το εμβαδόν του παραλληλογράμμου, μόνο που το αποτέλεσμα το διαιρείς με το δύο: E=(υ_c·c)/2

Κύκλος

Ο κυκλικός δίσκος είναι ένα ιδιαίτερο σχήμα, στο οποίο ούτε το μήκος του κύκλου ούτε το εμβαδόν μπορούν να γραφτούν ακριβώς ως δεκαδικός αριθμός. Ό,τι κι αν θέλουμε να υπολογίσουμε στον κυκλικό δίσκο, σχεδόν ποτέ δεν μπορούμε να κάνουμε χωρίς τη σταθερά Πι – π. Το δεκαδικό ανάπτυγμα του π είναι άπειρο, πρόκειται για άρρητο αριθμό, ωστόσο η προσεγγιστική τιμή με την οποία συνήθως υπολογίζουμε (αν δεν έχεις την τιμή του αποθηκευμένη στον υπολογιστή τσέπης) είναι 3,14.

Ας περάσουμε τώρα στους τύπους. Ήδη οι αρχαίοι στοχαστές αναζητούσαν πώς να υπολογίσουν το μήκος του κύκλου (ο κύκλος είναι μόνο η γραμμή, το τόξο, ο κύκλος δεν έχει εσωτερικό και επομένως ούτε εμβαδόν, ενώ ο κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν, επειδή σε αυτόν υπολογίζεται και το εσωτερικό του κύκλου). Βρέθηκε ότι ο λόγος του μήκους του κύκλου προς τη διάμετρό του (που μετριέται εύκολα) είναι πάντα ο ίδιος και με τον καιρό υπολογίστηκε και πόσες φορές είναι το μήκος του κύκλου μεγαλύτερο από τη διάμετρο. Και, ω του θαύματος – είναι ακριβώς Πι φορές. Το μήκος του κύκλου υπολογίζεται λοιπόν ως L=π·δ=2·π·R (συχνότερα αναφέρεται ο δεύτερος, πιο περίπλοκος τύπος, επειδή συνήθως ξέρουμε περισσότερο την ακτίνα παρά τη διάμετρο), όπου δ είναι η διάμετρος και R η ακτίνα του κύκλου.

Το εμβαδόν του κύκλου είναι τότε E=π·R², δεν ξέρω τι άλλο να πω σε αυτό :-).

Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

Αυτά είναι τα πρώτα τρισδιάστατα στερεά, σε αυτά λοιπόν θα καθορίζουμε το εμβαδόν της επιφάνειας και τον όγκο. Επειδή ο κύβος έχει έξι έδρες και όλες οι έδρες είναι τετράγωνα, η διαδικασία είναι σαφής: υπολογίζεις το εμβαδόν της μίας έδρας και αυτό στη συνέχεια το πολλαπλασιάζεις επί έξι. Ε_ολ=6a². Στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι πιο χρονοβόρο, επειδή έχει πολλές διαφορετικές έδρες. Ουσιαστικά αρκεί να υπολογίσεις το εμβαδόν τριών διαφορετικών εδρών, να τα προσθέσεις και να τα πολλαπλασιάσεις επί δύο και έχεις το εμβαδόν της επιφάνειας του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου: Ε_ολ=(a·b + b·c + a·c)·2.

Ο όγκος του κύβου υπολογίζεται ακριβώς όπως το εμβαδόν του τετραγώνου, με τη μικρή διαφορά ότι δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι βρισκόμαστε στον χώρο. Αρκεί λοιπόν να πάρεις το μήκος της πλευράς και να το υψώσεις στην τρίτη: V=a³. Στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι παρόμοια, μόνο που πρέπει να πολλαπλασιάσουμε χωριστά τις τρεις διαστάσεις, επειδή έχουν διαφορετικά μήκη: V=a·b·c.

Σφαίρα

Το εμβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας (= σφαιρική επιφάνεια) υπολογίζεται ως E=4·π·R² και ο όγκος της σφαίρας είναι V=4/3·π·R³.

Κύλινδρος

Το εμβαδόν της επιφάνειας του κυλίνδρου το υπολογίζουμε ως άθροισμα των εμβαδών των δύο βάσεων με το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας. Η βάση είναι ένας συνηθισμένος κυκλικός δίσκος, επομένως το εμβαδόν της μίας βάσης θα είναι ίσο με το εμβαδόν του κύκλου, δηλαδή το εμβαδόν της μίας βάσης το υπολογίζουμε ως εξής:

$$E_{\beta }=\pi \cdot R^2$$

Η παράπλευρη επιφάνεια του κυλίνδρου δεν είναι τίποτε άλλο από ένα «τυλιγμένο» ορθογώνιο, όπου το μήκος της μίας πλευράς είναι ίσο με το ύψος του κυλίνδρου (θα το συμβολίσουμε υ) και η άλλη είναι ίση με το μήκος του κύκλου στη βάση. Επομένως το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ισούται με:

$$E_{\pi }=\upsilon \cdot 2\pi R$$

Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του κυλίνδρου είναι έτσι ίσο με:

$$E_{\text{ολ}}=2\cdot E_{\beta }+E_{\pi }=2\pi R^2+2\upsilon \pi R=2\pi R(R+\upsilon )$$

Ο όγκος του κυλίνδρου είναι πιο απλός, είναι το ύψος πολλαπλασιασμένο με το εμβαδόν της βάσης. Το εμβαδόν της βάσης το υπολογίσαμε ήδη στο προηγούμενο βήμα. Το αποτέλεσμα:

$$V=\upsilon \cdot \pi R^2$$

Πυραμίδα και κώνος

Το εμβαδόν της επιφάνειας της πυραμίδας υπολογίζεται γενικά ως άθροισμα του εμβαδού της βάσης και των εμβαδών όλων των εδρών. Γενικός τύπος για αυτό δεν υπάρχει. Ο όγκος της πυραμίδας έχει κάτι κοινό με τον υπολογισμό του εμβαδού του τριγώνου – παίρνεις το εμβαδόν της βάσης και το πολλαπλασιάζεις με το ύψος της πυραμίδας. Το αποτέλεσμα στη συνέχεια το διαιρείς με το τρία και έχεις τον όγκο της πυραμίδας. V=(Ε_β · υ)/3, όπου Ε_β είναι το εμβαδόν της βάσης.

Η επιφάνεια του κώνου εκ περιστροφής ισούται με το άθροισμα του εμβαδού της βάσης και του εμβαδού της παράπλευρης επιφάνειας. Το εμβαδόν της βάσης είναι σαφές, πρόκειται για έναν συνηθισμένο κυκλικό δίσκο, δηλαδή Ε_β=π·R². Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας είναι λίγο πιο περίπλοκο, πρέπει να φανταστείς ότι «ξετυλίγεις» την παράπλευρη επιφάνεια πάνω στο τραπέζι και έτσι σου προκύπτει ένας κυκλικός τομέας, με εμβαδόν ίσο με: Ε_π=π·R·λ, όπου λ είναι η γενέτειρα του κώνου, δηλαδή η ακτίνα του κυκλικού τομέα (η απόσταση της κορυφής του κώνου από την άκρη της βάσης, κάτι παρόμοιο με την ακμή στην πυραμίδα). Ο όγκος του κώνου είναι V=(π · R² · υ)/3, όπου υ είναι το ύψος του κώνου.

Παράδειγμα για εμβαδά

Υπολόγισε το εμβαδόν του επόμενου σχήματος (υπόθεσε ότι οι αποστάσεις στον άξονα είναι σε μέτρα):

Με την πρώτη ματιά διαπιστώνουμε ότι το σχήμα αυτό είναι ένα τυχαίο πολύγωνο, στο οποίο ως σύνολο δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε κανέναν τύπο. Πρέπει λοιπόν να το χωρίσουμε σε μικρότερα μέρη, που μπορούμε ήδη να υπολογίσουμε. Το πιο βολικό θα είναι να φτιάξουμε από το κάτω μέρος ένα τρίγωνο και από το πάνω μέρος ένα τραπέζιο. Τον χωρισμό τον δείχνει το επόμενο σχήμα:

Τώρα θα υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ABE με τον τύπο E=(a · υ_a)/2. Πλευρά a θα είναι σε αυτή την περίπτωση η πλευρά AE και ύψος προς αυτή την πλευρά θα είναι η πλευρά EB. Βλέπουμε ότι |AE|=3 m και |EB|=1 m. Με αντικατάσταση στον τύπο παίρνουμε: E=(3 · 1)/2=1,5 m².

Στο δεύτερο βήμα υπολογίζουμε το εμβαδόν του τραπεζίου και μάλιστα με τον τύπο E=(a+c)/2 · υ_a. Πλευρά a θα είναι στην περίπτωσή μας η πλευρά AE και πλευρά c η πλευρά DC. Το ύψος το διαβάζουμε πάλι εύκολα από το σχήμα, πρόκειται για το μήκος του τμήματος EC. Με αντικατάσταση στον τύπο παίρνουμε: E=(3+2)/2 · 2=5 m².

Τα προηγούμενα δύο επιμέρους αποτελέσματα απλώς τα προσθέτουμε και έχουμε το τελικό εμβαδόν του σχήματος. E=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Υπολόγισε το εμβαδόν του επόμενου σχήματος (υπόθεσε ότι οι αποστάσεις στον άξονα είναι σε μέτρα):

Πάλι είναι μάλλον φανερό με την πρώτη ματιά ότι ένας τύπος δεν θα μας φτάσει και ότι θα πρέπει να τροποποιήσουμε με κάποιον τρόπο το σχήμα. Θα το υπολογίσουμε με τον εξής τρόπο: Θα υπολογίσουμε το εμβαδόν του «τετραγώνου», θα προσθέσουμε τα τρία τέταρτα του εμβαδού του κυκλικού δίσκου και θα αφαιρέσουμε το μικρό τρίγωνο κάτω αριστερά:

Το εμβαδόν του τετραγώνου το υπολογίζουμε απλά: E₁ = 2 · 2 = 4 m². Στο δεύτερο βήμα υπολογίζουμε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. Πάλι απλώς αντικαθιστούμε στον τύπο και υπολογίζουμε E₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Μένει πια μόνο να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου DEI και να το αφαιρέσουμε από το εμβαδόν του τετραγώνου. Η πλευρά EI και το ύψος της DI έχουν και οι δύο μήκος 1 m, οπότε το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι E₃ = ½.

Στο τελευταίο βήμα προσθέτουμε και αφαιρούμε τα επιμέρους αποτελέσματα: E = E₁ + E₂ − E₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².