Inhouden en oppervlakten

Eerst heel kort de theorie, voor het geval iemand het niet weet. De omtrek van een figuur is de som van de lengtes van al zijn zijden en wordt uitgedrukt in meters en afgeleide eenheden. De omtrek noteren we meestal met de letter O. De oppervlakte van een figuur is de grootte van het vlak dat de figuur vormt en wordt berekend in vierkante meters. Wiskundig drukken we de vierkante meter uit met een tweetje als exponent: m². De oppervlakte noteren we in dit artikel als opp., omdat de letter A hier ook voor hoekpunten wordt gebruikt. De inhoud is de ruimte die een lichaam inneemt, eenvoudig gezegd geeft die aan hoeveel water je erin kunt gieten. De inhoud wordt berekend in kubieke meters en afgeleide eenheden, en ruimtematen schrijven we met een drietje als exponent: m³. De inhoud noteren we gewoonlijk met de letter V. Oppervlakte en inhoud kunnen we ook uitdrukken in andere (en in het dagelijks leven waarschijnlijk meer gebruikte) eenheden, zoals are of hectare voor oppervlakte en liter voor inhoud. Oppervlakte of inhoud kun je in het algemeen berekenen met integralen.

Vierkant en rechthoek

Beide figuren zijn tweedimensionaal, dus we vinden hier alleen omtrek en oppervlakte. Bij het vierkant is alles het eenvoudigst, want een vierkant heeft per definitie alle zijden even lang. Als we de omtrek van een vierkant berekenen, hoeven we dus maar één zijde van het vierkant te nemen en die met vier (het aantal zijden) te vermenigvuldigen: O=4a. De omtrek van een rechthoek is maar een klein beetje ingewikkelder. Een rechthoek heeft altijd twee paar even lange zijden, dus er zijn twee wegen: je telt gewoon alle zijden bij elkaar op, of je neemt de lengtes van twee verschillende zijden, vermenigvuldigt ze met twee en telt ze op: O=2a+2b.

De oppervlakte van een vierkant is niets ingewikkelder dan zijn omtrek. Je neemt één zijde en vermenigvuldigt die met een andere zijde. Omdat een vierkant alle zijden even lang heeft, ontstaat de formule: opp. = a·a = a². Een rechthoek werkt precies hetzelfde als een vierkant, met als verschil dat een rechthoek niet alle zijden even lang heeft en je dus twee verschillende zijden die loodrecht op elkaar staan met elkaar moet vermenigvuldigen: opp.=a·b.

Parallellogram

Een parallellogram is een figuur die op een rechthoek lijkt, maar waarvan twee overstaande zijden scheef staan, zie de afbeelding onder deze alinea. De omtrek van een parallellogram is eenvoudig en in principe hetzelfde als bij een rechthoek: O=2a+2b, maar de oppervlakte is al wat interessanter. Om de oppervlakte van een parallellogram te berekenen, moeten we er een rechthoek van maken, anders lukt het niet. En hoe we er een rechthoek van maken, laat de volgende afbeelding zien:

Eerst knippen we het overtollige deel van het parallellogram af (het gekleurde deel) en plakken we dat aan de andere kant van het parallellogram, waardoor een rechthoek ontstaat:

Pas nu kunnen we gemakkelijk de oppervlakte van het parallellogram berekenen, de formule is dezelfde als bij de rechthoek. Maar het grafisch omzetten van een parallellogram is niet handig, daarom gebruiken we een eenvoudige formule die precies uit die omzetting volgt. Zijde a is namelijk hetzelfde bij de rechthoek en bij het parallellogram, alleen de andere zijde verschilt. Bij het parallellogram rekenen we dus in plaats van met zijde b met de hoogte van het parallellogram, die gelijk is aan zijde b in de aangepaste rechthoek. De volgende afbeelding laat het overzichtelijk zien (we vermenigvuldigen de rood gemarkeerde zijden):

De formule ziet er zo uit: opp.=h_a·a.

Trapezium

De omtrek is duidelijk, we tellen alle zijden bij elkaar op. De oppervlakte van een trapezium is al lastiger. In theorie zouden we net zo te werk kunnen gaan als bij het parallellogram, maar we weten niet of we de langere (AB) of de kortere (CD) zijde moeten nemen.

Daarom gebruiken we een kunstgreep — we berekenen de gemiddelde lengte van die twee evenwijdige zijden en rekenen daarmee verder. We tellen dus de lengte van zijde AB en CD op, delen door twee en rekenen dan net zo als bij het parallellogram — we vermenigvuldigen met de hoogte en we hebben de oppervlakte. opp.=(a+c)/2 · h_a.

Driehoek

Een driehoek is een tweedimensionale figuur en we kunnen er dus omtrek en oppervlakte van berekenen, hij kan geen inhoud hebben en heeft die ook niet. De omtrek van een driehoek berekenen we door al zijn zijden op te tellen. De algemene formule zou er dus zo uitzien: O=a+b+c. Natuurlijk kunnen we bijzondere gevallen vinden: het is bijvoorbeeld duidelijk dat een gelijkzijdige driehoek alle zijden even lang heeft en dat het dus volstaat de lengte van één zijde te kennen en die met drie te vermenigvuldigen. Dan zou de formule er zo uitzien: O=3a.

Voor de oppervlakte van een driehoek hebben we één kleine aanpassing nodig. Om de oppervlakte van een driehoek te kunnen berekenen, moeten we er een parallellogram van maken (net zoals we van het parallellogram een rechthoek maakten). Hoe we van een driehoek een parallellogram maken, laat de volgende tekening weer zien:

Uit deze afbeelding zou al duidelijk moeten zijn hoe je de oppervlakte van een driehoek berekent — je werkt net zoals bij de oppervlakte van een parallellogram, alleen deel je het resultaat door twee: opp.=(h_c·c)/2

Cirkel

Cirkel en cirkelschijf zijn bijzondere figuren doordat hun omtrek en oppervlakte niet exact als decimaal getal zijn op te schrijven. Wat we met een cirkel ook willen berekenen, we komen vrijwel nooit zonder de constante pi – π – uit. De decimale ontwikkeling van π is oneindig, het is een irrationaal getal, maar de benaderde waarde waarmee meestal wordt gerekend (als je de waarde niet in je rekenmachine hebt opgeslagen) is 3,14.

Nu gaan we naar de formules. Denkers uit de oudheid zochten al uit hoe je de omtrek van een cirkel berekent (de cirkel is alleen die lijn, die boog, de cirkel heeft geen binnenkant en dus ook geen oppervlakte, terwijl de cirkelschijf wel een oppervlakte heeft, omdat daarbij ook de binnenkant van de cirkel meetelt). Ze ontdekten dat de verhouding van de diameter van de cirkel (die gemakkelijk te meten is) tot de omtrek altijd hetzelfde is, en na verloop van tijd werd ook uitgerekend hoeveel keer de omtrek groter is dan de diameter. En wonder boven wonder — het is precies pi keer. De omtrek van een cirkel berekenen we dus als O=π·d=2·π·r (vaker wordt de tweede, ingewikkeldere formule gebruikt, omdat we meestal eerder de straal kennen dan de diameter), waarbij d de diameter is en r de straal van de cirkel.

De oppervlakte van een cirkelschijf is dan opp.=π·r², ik weet niet wat ik daar nog aan toe zou kunnen voegen :-).

Kubus en balk

Dit zijn de eerste ruimtefiguren, daarbij gaan we dus de totale oppervlakte en de inhoud bepalen. Omdat een kubus zes zijvlakken heeft en alle zijvlakken vierkanten zijn, is de werkwijze duidelijk: je berekent de oppervlakte van één zijvlak en vermenigvuldigt die met zes. opp.=6a². Bij een balk is het al langdradiger, omdat die meerdere verschillende zijvlakken heeft. In principe volstaat het de oppervlakte van drie verschillende zijvlakken te berekenen, op te tellen en met twee te vermenigvuldigen en je hebt de totale oppervlakte van de balk: opp.=(a·b + b·c + a·c)·2.

De inhoud van een kubus wordt precies zo berekend als de oppervlakte van een vierkant, met het kleine verschil dat we niet mogen vergeten dat we ons in de ruimte bevinden. Je hoeft dus gewoon de lengte van de ribbe tot de derde macht te verheffen: V=a³. Bij een balk is het vergelijkbaar, alleen moeten we die drie ribben apart vermenigvuldigen, omdat ze verschillend lang zijn: V=a·b·c.

Bol

De oppervlakte van een bol (=boloppervlak) wordt berekend met opp.=4·π·r² en de inhoud van een bol is V=4/3·π·r³. Als je de behoorlijk ingewikkelde afleiding van de berekening van de inhoud van een bol wilt lezen, zoek dan het principe van Cavalieri op.

Cilinder

De oppervlakte van een cilinder berekenen we als de som van de oppervlakten van de twee grondvlakken en de oppervlakte van het mantelvlak. Het grondvlak is een gewone cirkelschijf, dus de oppervlakte van één grondvlak is gelijk aan de oppervlakte van een cirkelschijf. De oppervlakte van één grondvlak berekenen we dus zo:

$$G=\pi \cdot r^2$$

Het mantelvlak van een cilinder is niets anders dan een “opgerolde” rechthoek, waarvan de lengte van één zijde gelijk is aan de hoogte van de cilinder (die noemen we h) en de andere gelijk is aan de omtrek van de cirkel bij het grondvlak. De oppervlakte van het mantelvlak is dus gelijk aan:

$$M=h\cdot 2\pi r$$

De totale oppervlakte van de hele cilinder is dus gelijk aan:

$$\text{opp.}=2\cdot G+M=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

De inhoud van een cilinder is eenvoudiger, het is de hoogte vermenigvuldigd met de oppervlakte van het grondvlak. De oppervlakte van het grondvlak hebben we in de vorige stap al berekend. Het resultaat:

$$V=h\cdot \pi r^2$$

Piramide en kegel

De oppervlakte van een piramide wordt in het algemeen berekend als de som van de oppervlakte van het grondvlak en de oppervlakten van alle zijvlakken. Een algemene formule daarvoor is er niet echt. De inhoud van een piramide heeft iets gemeen met de berekening van de oppervlakte van een driehoek — je neemt de oppervlakte van het grondvlak en vermenigvuldigt die met de hoogte van de piramide. Het resultaat deel je vervolgens door drie en je hebt de inhoud van de piramide. V=(G · h)/3, waarbij G de oppervlakte van het grondvlak is.

De oppervlakte van een rechte cirkelkegel is gelijk aan de som van de oppervlakte van het grondvlak en de oppervlakte van het mantelvlak. De oppervlakte van het grondvlak is duidelijk, het gaat om een gewone cirkelschijf, dus G=π·r². De oppervlakte van het mantelvlak is wat ingewikkelder, je moet je voorstellen dat je dat mantelvlak op tafel “uitrolt”, waardoor een soort cirkelsector ontstaat, waarvan de oppervlakte gelijk is aan: M=π·r·s, waarbij s de lengte van de beschrijvende lijn is (de afstand van de top van de kegel tot de rand van het grondvlak, in feite is dat iets vergelijkbaars als een ribbe bij een piramide). De inhoud van een kegel is V=(π · r² · h)/3, waarbij h de hoogte van de kegel is.

Voorbeeld bij oppervlakten

Bereken de oppervlakte van de volgende figuur (neem aan dat de maten op de as in meters zijn):

Op het eerste gezicht zien we dat deze figuur een soort willekeurige veelhoek is, waarop we als geheel geen enkele formule kunnen toepassen. We moeten hem dus verdelen in kleinere delen die we al kunnen berekenen. Het handigst is als we van het onderste deel een driehoek maken en van het bovenste deel een trapezium. De verdeling zie je in de volgende afbeelding:

Nu berekenen we de oppervlakte van driehoek ABE met de formule opp.=(a · h_a)/2. Zijde a is in dit geval zijde AE en de hoogte op deze zijde is zijde EB. We zien dat |AE|=3 m en |EB|=1 m. Invullen in de formule geeft: opp.=(3 · 1)/2=1,5 m².

In de tweede stap berekenen we de oppervlakte van het trapezium en wel met de formule opp.=(a+c)/2 · h_a. Zijde a is in ons geval zijde AE en zijde c is zijde DC. De hoogte lezen we weer gemakkelijk af uit de afbeelding, het is de lengte van lijnstuk EC. Invullen in de formule geeft: opp.=(3+2)/2 · 2=5 m².

De twee voorgaande deelresultaten tellen we gewoon op en we hebben de oppervlakte van de figuur. opp.=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Bereken de oppervlakte van de volgende figuur (neem aan dat de maten op de as in meters zijn):

Het is waarschijnlijk weer op het eerste gezicht duidelijk dat één formuletje niet genoeg is en dat we de figuur op de een of andere manier moeten aanpassen. We gaan het op de volgende manier berekenen: we berekenen de oppervlakte van dat “vierkant”, tellen daarbij drie kwart van de oppervlakte van de cirkelschijf op en trekken dat kleine driehoekje links onderaan af:

De oppervlakte van het vierkant berekenen we eenvoudig: opp.₁ = 2 · 2 = 4 m². In de tweede stap berekenen we de oppervlakte van de cirkelschijf. Weer vullen we gewoon in de formule in en rekenen we uit: opp.₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Nu moeten we nog alleen maar de oppervlakte van driehoek DEI berekenen en die van de oppervlakte van het vierkant aftrekken. Zijde EI en haar hoogte DI zijn allebei 1 m lang, dus de oppervlakte van de driehoek is opp.₃ = ½.

In de laatste stap tellen we de deelresultaten op en trekken we ze af: opp. = opp.₁ + opp.₂ − opp.₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².