Areor och volymer

Först en mycket kort genomgång av teorin, om någon skulle behöva den. Omkretsen av en figur är summan av längderna av alla dess sidor och anges i meter och enheter som härleds från meter. Omkretsen betecknas vanligen med bokstaven O. Arean av en figur är storleken på den yta som figuren bildar, den beräknas i kvadratmeter, och matematiskt skrivs kvadratmeter med en tvåa i exponenten: m². Arean skrivs vanligen med bokstaven A. Volymen är det utrymme som en kropp upptar, enkelt uttryckt hur mycket vatten du kan hälla i den. Volymen beräknas i kubikmeter och enheter som härleds från den, och tredimensionella mått skrivs med en trea i exponenten: m³. Volymen skrivs vanligen med bokstaven V. Area och volym kan vi också uttrycka i andra enheter (som man i vardagen nog använder oftare), till exempel ar eller hektar för area och liter för volym. Area och volym kan i allmänhet beräknas med integraler.

Kvadrat och rektangel

Båda figurerna är tvådimensionella, så här finns bara omkrets och area. Allra enklast är det med kvadraten, eftersom alla sidor i en kvadrat per definition är lika långa. När vi beräknar omkretsen av en kvadrat räcker det alltså att ta en sida av kvadraten och multiplicera den med fyra (antalet sidor): O=4a. Omkretsen av en rektangel är bara lite krångligare. En rektangel har alltid två och två lika långa sidor, så det finns två vägar: antingen adderar vi helt enkelt alla sidor, eller så tar vi längderna av två olika sidor, multiplicerar dem med två och adderar: O=2a+2b.

Arean av en kvadrat är inte alls mer komplicerad än omkretsen. Du tar en sida och multiplicerar den med en annan sida. Eftersom alla sidor i en kvadrat är lika långa får vi formeln: A = a·a = a². En rektangel fungerar helt likadant som en kvadrat, med den skillnaden att en rektangel inte har alla sidor lika långa, och därför måste du multiplicera två olika sidor som är vinkelräta mot varandra: A=a·b.

Parallellogram

Ett parallellogram är en figur som liknar en rektangel men där två motstående sidor är sneda, se figuren under det här stycket. Omkretsen av ett parallellogram är enkel och i princip densamma som för en rektangel: O=2a+2b, men arean är lite mer intressant. För att beräkna arean av ett parallellogram måste vi göra om det till en rektangel, annars går det inte. Och hur vi gör om det till en rektangel visar följande figur:

Först skär vi bort den överskjutande delen av parallellogrammet (den färgade delen) och fäster den på parallellogrammets andra sida, så att det blir en rektangel:

Först nu kan vi enkelt beräkna arean av parallellogrammet, formeln blir densamma som för en rektangel. Men att göra om parallellogrammet grafiskt är obekvämt, därför använder man en enkel formel som bygger just på den omvandlingen. Sidan a är nämligen densamma i rektangeln och i parallellogrammet, bara den andra sidan skiljer sig. För parallellogrammet räknar vi alltså i stället för sidan b med parallellogrammets höjd, som är lika med sidan b i den ombyggda rektangeln. Det visas tydligt i följande figur (vi multiplicerar de rödmarkerade sidorna):

Formeln ser ut så här: A=h_a·a.

Parallelltrapets

Omkretsen är självklar, vi adderar alla sidor. Arean av en parallelltrapets är en större nöt att knäcka. Teoretiskt skulle vi kunna göra som för parallellogrammet, men vi vet inte om vi ska ta den längre sidan (AB) eller den kortare sidan (CD).

Därför använder vi ett knep – vi beräknar medellängden av de två parallella sidorna och räknar med den. Vi adderar alltså längderna av sidorna AB och CD, dividerar med två och räknar sedan på samma sätt som för parallellogrammet – vi multiplicerar med höjden och har arean. A=(a+c)/2 · h_a.

Triangel

En triangel är en tvådimensionell figur och därför kan vi beräkna dess omkrets och area, den kan inte ha någon volym och har det inte heller. Omkretsen av en triangel beräknar vi genom att addera alla dess sidor. Den allmänna formeln skulle alltså se ut så här: O=a+b+c. Vi kan förstås hitta specialfall, till exempel är det klart att en liksidig triangel har alla sidor lika långa, så det räcker att känna längden av en sida och multiplicera den med tre. Då skulle formeln se ut så här: O'=3a.

För arean av en triangel behöver vi en liten omformning. För att kunna beräkna arean av en triangel måste vi göra om den till ett parallellogram (på samma sätt som vi gjorde om parallellogrammet till en rektangel). Hur man gör om en triangel till ett parallellogram visar återigen följande lilla teckning:

Av den här figuren borde det redan vara klart hur man beräknar arean av en triangel – du gör på samma sätt som när du beräknar arean av ett parallellogram, bara att du dividerar resultatet med två: A=(h_c·c)/2

Cirkel

Cirkeln är en speciell figur eftersom varken omkretsen eller arean går att skriva exakt som ett decimaltal. Vad vi än vill räkna på en cirkel klarar vi oss nästan aldrig utan konstanten pi – π. Decimalutvecklingen av π är oändlig, det är ett irrationellt tal, men dess närmevärde, som man vanligtvis räknar med (om du inte har värdet sparat i miniräknaren), är 3,14.

Nu går vi över till formlerna. Redan forntida tänkare undersökte hur man beräknar omkretsen av en cirkelskiva, respektive av cirkeln (cirkeln är bara själva linjen, bågen, den har ingen insida och därmed ingen area, medan cirkelskivan har en area, eftersom cirkelns insida räknas med). Man kom fram till att förhållandet mellan cirkelskivans diameter (som lätt kan mätas) och omkretsen alltid är detsamma, och med tiden räknade man också ut hur många gånger större omkretsen är än diametern. Och, tänk dig, det är just pi gånger. Omkretsen av en cirkel beräknar vi alltså som O=π·d=2·π·r (den andra, mer komplicerade formeln anges oftare, eftersom vi oftast känner radien snarare än diametern), där d är diametern och r är cirkelns radie.

Arean av en cirkel är sedan A=π·r², jag vet inte vad jag mer skulle säga om det :-).

Kub och rätblock

Det här är de första rymdgeometriska kropparna, för dem bestämmer vi alltså begränsningsarean och volymen. Eftersom en kub har sex sidoytor och alla sidoytor är kvadrater är tillvägagångssättet givet: du beräknar arean av en sidoyta och multiplicerar den sedan med sex. A=6a². För ett rätblock är det mer långdraget, eftersom det har flera olika sidoytor. I princip räcker det att beräkna arean av tre olika sidoytor, addera dem och multiplicera med två, så har du begränsningsarean av rätblocket: A=(a·b + b·c + a·c)·2.

Volymen av en kub beräknas precis som arean av en kvadrat, med den lilla skillnaden att vi inte får glömma att vi befinner oss i rymden. Du behöver helt enkelt bara ta sidlängden och upphöja den till tre: V=a³. För ett rätblock är det liknande, men vi måste multiplicera de tre sidorna var för sig, eftersom de är olika långa: V=a·b·c.

Klot

Begränsningsarean av ett klot (= sfären) beräknas A=4·π·r² och volymen av ett klot är V=4/3·π·r³. Om du vill läsa den ganska komplicerade härledningen av formeln för klotets volym kan du titta på Cavalieris princip.

Cylinder

Begränsningsarean av en cylinder beräknar vi som summan av arean av de två baserna och mantelarean. Basen är en vanlig cirkel, så arean av en bas är lika med arean av en cirkel, alltså arean av en bas beräknar vi så här:

$$B=\pi \cdot r^2$$

Cylinderns mantelyta är inget annat än en ”hoprullad” rektangel där längden av den ena sidan är lika med cylinderns höjd (vi betecknar den h) och den andra är lika med omkretsen av cirkeln vid basen. Mantelarean är alltså lika med:

$$A_m=h\cdot 2\pi r$$

Begränsningsarean av hela cylindern är alltså lika med:

$$A=2\cdot B+A_m=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

Volymen av en cylinder är enklare, det är höjden multiplicerad med basens area. Basens area har vi redan beräknat i föregående steg. Resultat:

$$V=h\cdot \pi r^2$$

Pyramid och kon

Begränsningsarean av en pyramid beräknas i allmänhet som summan av basens area och arean av alla sidoytor. Någon allmän formel för det finns egentligen inte. Volymen av en pyramid har något gemensamt med beräkningen av arean av en triangel – du tar basens area och multiplicerar den med pyramidens höjd. Resultatet dividerar du sedan med tre och har pyramidens volym. V=(B · h)/3, där B är basens area.

Begränsningsarean av en rak cirkulär kon är lika med summan av basens area och mantelarean. Basens area är självklar, det är en vanlig cirkel, alltså B=π·r². Mantelarean är lite mer komplicerad, du måste tänka dig att du ”rullar ut” manteln på ett bord, och då får du ett slags cirkelsektor vars area är lika med: A_m=π·r·s, där s är konens sidolinje (avståndet från konens spets till basens kant, ungefär något liknande som en kant på en pyramid). Volymen av en kon är V=(π · r² · h)/3, där h är konens höjd.

Exempel på areor

Beräkna arean av följande figur (anta att måtten på axlarna är i meter):

Vid första anblick ser vi att den här figuren är ett slags allmän månghörning, på vilken vi som helhet inte kan använda någon formel. Vi måste alltså dela upp den i mindre delar som vi redan kan beräkna. Det smidigaste är att göra den nedre delen till en triangel och den övre delen till en parallelltrapets. Uppdelningen visas i följande figur:

Nu beräknar vi arean av triangeln ABE enligt formeln A_△=(a · h_a)/2. Sidan a blir i det här fallet sidan AE och höjden mot den sidan blir sidan EB. Vi ser att |AE|=3 m och |EB|=1 m. Insatt i formeln får vi: A_△=(3 · 1)/2=1,5 m².

I andra steget beräknar vi arean av parallelltrapetsen enligt formeln A_T=(a+c)/2 · h_a. Sidan a blir i vårt fall sidan AE och sidan c sidan DC. Höjden kan vi återigen lätt läsa av i figuren, det är längden av sträckan EC. Insatt i formeln får vi: A_T=(3+2)/2 · 2=5 m².

De två föregående delresultaten behöver vi bara addera, så har vi figurens area. A=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Beräkna arean av följande figur (anta att måtten på axlarna är i meter):

Det är nog återigen uppenbart vid första anblick att en enda formel inte räcker och att vi måste ändra figuren på något sätt. Vi räknar på följande sätt: Vi beräknar arean av ”kvadraten”, lägger till tre fjärdedelar av arean av en cirkel och drar bort den lilla triangeln nere till vänster:

Arean av kvadraten beräknar vi enkelt: A₁ = 2 · 2 = 4 m². I andra steget beräknar vi arean av cirkeln. Återigen sätter vi bara in i formeln och räknar ut A₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Det återstår bara att beräkna arean av triangeln DEI och dra bort den från kvadratens area. Sidan EI och dess höjd DI har båda längden 1 m, så triangelns area blir A₃ = ½.

I sista steget adderar och subtraherar vi delresultaten: A = A₁ + A₂ − A₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².