Volumes e áreas

Primeiro, bem resumidamente, a teoria, caso alguém não saiba. O perímetro de uma figura é a soma dos comprimentos de todos os seus lados, e se expressa em metros e unidades derivadas. O perímetro costuma ser indicado pela letra P. A área de uma figura é a medida da superfície que a figura forma, e se calcula em metros quadrados; matematicamente, o metro quadrado se escreve com um dois sobrescrito: m². A área costuma ser escrita com a letra A. O volume é o espaço que o sólido ocupa; simplificando, expressa quanta água cabe ali dentro. O volume se calcula em metros cúbicos e unidades derivadas, e as medidas espaciais se escrevem com um três sobrescrito: m³. O volume costuma ser escrito com a letra V. Também podemos expressar área e volume em outras unidades (e provavelmente mais usadas no dia a dia), como o are ou o hectare para a área e o litro para o volume. Área ou volume podem, em geral, ser calculados por integrais.

Quadrado e retângulo

Ambas as figuras são bidimensionais, então aqui encontramos apenas perímetro e área. No quadrado é tudo mais simples, porque o quadrado, por definição, tem todos os lados de mesmo comprimento. Assim, ao calcular o perímetro do quadrado, basta pegar um lado do quadrado e multiplicá-lo por quatro (o número de lados): P=4a. O perímetro do retângulo é só um pouco mais complicado. O retângulo tem sempre dois pares de lados de mesmo comprimento, então há dois caminhos: ou somar todos os lados, ou pegar os comprimentos de dois lados diferentes, multiplicá-los por dois e somar: P=2a+2b.

A área do quadrado não é nada mais complicada que o perímetro. Você pega um lado e multiplica pelo outro lado. Como o quadrado tem todos os lados de mesmo comprimento, resulta a fórmula: A = a·a = a². O retângulo funciona de modo totalmente idêntico ao quadrado, com a diferença de que o retângulo não tem todos os lados de mesmo comprimento, e por isso você precisa multiplicar dois lados diferentes, perpendiculares entre si: A=a·b.

Paralelogramo

O paralelogramo é uma figura parecida com o retângulo, mas com dois lados opostos inclinados, veja a figura abaixo deste parágrafo. O perímetro do paralelogramo é simples e, em essência, igual ao do retângulo: P=2a+2b; já a área é um pouco mais interessante. Para calcular a área do paralelogramo, precisamos transformá-lo em retângulo, senão não dá. A figura a seguir mostra como transformá-lo em retângulo:

Primeiro cortamos a parte que sobra do paralelogramo (a parte colorida) e a colamos do outro lado do paralelogramo, de modo que surge um retângulo:

Só agora podemos calcular facilmente a área do paralelogramo; a fórmula será a mesma do retângulo. No entanto, a transformação gráfica do paralelogramo não é cômoda, então usa-se uma fórmula simples, que parte justamente dessa transformação. O lado a é idêntico tanto no retângulo quanto no paralelogramo; só o outro lado é diferente. Assim, no paralelogramo, em vez do lado b, calculamos com a altura do paralelogramo, que é igual ao lado b do retângulo obtido. A figura a seguir mostra isso de forma clara (vamos multiplicar os lados destacados em vermelho):

A fórmula é esta: A=h_a·a.

Trapézio

O perímetro é óbvio: somamos todos os lados. A área do trapézio já é um osso duro de roer. Em teoria poderíamos proceder como no paralelogramo, só que não sabemos se devemos pegar o lado maior (AB) ou o menor (CD).

Por isso se usa um truque – calculamos o comprimento médio desses dois lados paralelos e trabalhamos com ele. Somamos, então, o comprimento do lado AB e do lado CD, dividimos por dois e depois calculamos como no paralelogramo – multiplicamos ainda pela altura e temos a área. A=(a+c)/2 · h_a.

Triângulo

O triângulo é uma figura bidimensional e, como tal, podemos calcular nele o perímetro e a área; ele não pode ter, e de fato não tem, volume. Calculamos o perímetro do triângulo somando todos os seus lados. Ou seja, a fórmula geral seria esta: P=a+b+c. Claro que podemos encontrar casos especiais; por exemplo, é evidente que o triângulo equilátero tem todos os lados de mesmo comprimento e, portanto, basta conhecer o comprimento de um lado e multiplicá-lo por três. Então a fórmula ficaria assim: P'=3a.

Para a área do triângulo vamos precisar de uma pequena adaptação. Para calcular a área do triângulo, precisamos transformá-lo em paralelogramo (de modo parecido ao que fizemos ao transformar o paralelogramo em retângulo). O desenho a seguir mostra de novo como transformar o triângulo em paralelogramo:

Dessa figura já deve estar claro como calcular a área do triângulo – você procede do mesmo modo que ao calcular a área do paralelogramo, apenas divide o resultado por dois: A=(h_c·c)/2

Círculo

O círculo é uma figura específica no sentido de que nem o seu comprimento nem a sua área podem ser escritos exatamente como número decimal. Seja o que for que queiramos calcular com o círculo, quase nunca conseguimos dispensar a constante pi – π. A representação decimal de π é infinita; trata-se de um número irracional, mas seu valor aproximado, com o qual normalmente se calcula (se você não tem o valor guardado na calculadora), é 3,14.

Passemos agora às fórmulas. Os pensadores da Antiguidade já procuravam descobrir como calcular o perímetro do círculo, ou melhor, o comprimento da circunferência (a circunferência é apenas a linha, o arco; ela não tem interior e, portanto, não tem área, enquanto o círculo tem área, pois nele se inclui também o interior da circunferência). Descobriu-se que a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro (que pode ser medido facilmente) é sempre a mesma, e com o tempo também se calculou quantas vezes o comprimento da circunferência é maior que o diâmetro. E, que surpresa – é justamente pi vezes. Calculamos, portanto, o comprimento da circunferência como C=π·d=2·π·r (a segunda fórmula, mais complicada, é a mais usada, porque em geral conhecemos mais o raio do que o diâmetro), em que d é o diâmetro e r é o raio do círculo.

A área do círculo é então A=π·r²; não sei o que mais eu poderia dizer sobre isso :-).

Cubo e paralelepípedo

Estes são os primeiros sólidos geométricos; neles, portanto, vamos determinar a área da superfície e o volume. Como o cubo tem seis faces e todas as faces são quadrados, o procedimento é claro: você calcula a área de uma face e depois a multiplica por seis. A=6a². No paralelepípedo é mais demorado, porque ele tem várias faces diferentes. Em essência, basta calcular a área de três faces diferentes, somar e multiplicar por dois, e você tem a área da superfície do paralelepípedo: A=(a·b + b·c + a·c)·2.

O volume do cubo se calcula exatamente como a área do quadrado, com a pequena diferença de que não podemos esquecer que estamos no espaço. Basta, enfim, pegar o comprimento do lado e elevá-lo à terceira potência: V=a³. No paralelepípedo é parecido, só que precisamos multiplicar esses três lados separadamente, porque têm comprimentos diferentes: V=a·b·c.

Esfera

A área da superfície da esfera (= superfície esférica) se calcula por A=4·π·r² e o volume da esfera é V=4/3·π·r³. Se você quiser ler a dedução bastante complicada do cálculo do volume da esfera, dê uma olhada no princípio de Cavalieri. A dedução da área da superfície da esfera você encontra em muitos livros e sites de matemática.

Cilindro

Calculamos a área da superfície do cilindro como a soma das áreas das duas bases com a área lateral. A base é um círculo comum, então a área de uma base será igual à área do círculo, isto é, calculamos a área de uma base assim:

$$A_b=\pi \cdot r^2$$

A superfície lateral do cilindro nada mais é que um retângulo “enrolado”, em que o comprimento de um lado é igual à altura do cilindro (vamos chamá-la de h) e o outro é igual ao comprimento da circunferência da base. Portanto, a área lateral é igual a:

$$A_l=h\cdot 2\pi r$$

A área da superfície do cilindro inteiro é, assim, igual a:

$$A_t=2\cdot A_b+A_l=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

O volume do cilindro é mais simples: é a altura multiplicada pela área da base. A área da base já calculamos no passo anterior. Resultado:

$$V=h\cdot \pi r^2$$

Pirâmide e cone

A área da superfície da pirâmide se calcula, em geral, como a soma da área da base com as áreas de todas as faces. Não existe uma fórmula geral para isso. O volume da pirâmide tem algo em comum com o cálculo da área do triângulo – você pega a área da base e a multiplica pela altura da pirâmide. Depois você divide o resultado por três e tem o volume da pirâmide. V=(A_b · h)/3, em que A_b é a área da base.

A superfície do cone reto é igual à soma da área da base com a área lateral. A área da base é evidente, trata-se de um círculo comum, ou seja, A=π·r². A área lateral é um pouco mais complicada: você precisa imaginar que a superfície lateral é “desenrolada” sobre a mesa e assim surge uma espécie de setor circular, cuja área é igual a: A=π·r·g, em que g é a geratriz do cone (a distância do vértice do cone até a borda da base, em essência algo parecido com a aresta de uma pirâmide). O volume do cone é V=(π · r² · h)/3, em que h é a altura do cone.

Exemplo sobre áreas

Calcule a área da figura a seguir (suponha que as medidas nos eixos estão em metros):

À primeira vista percebemos que essa figura é um polígono qualquer, ao qual, como um todo, não podemos aplicar nenhuma fórmula. Então precisamos dividi-la em partes menores, que já sabemos calcular. O mais viável será transformar a parte de baixo em um triângulo e a parte de cima em um trapézio. A figura a seguir mostra a divisão:

Agora calculamos a área do triângulo ABE pela fórmula A=(a · h_a)/2. O lado a será, neste caso, o lado AE, e a altura relativa a esse lado será o lado EB. Vemos que |AE|=3 m e |EB|=1 m. Substituindo na fórmula, obtemos: A=(3 · 1)/2=1,5 m².

No segundo passo calculamos a área do trapézio, pela fórmula A=(a+c)/2 · h_a. O lado a será, no nosso caso, o lado AE e o lado c, o lado DC. A altura, de novo, lemos facilmente na figura: é o comprimento do segmento EC. Substituindo na fórmula, obtemos: A=(3+2)/2 · 2=5 m².

Agora basta somar os dois resultados parciais anteriores e temos a área final da figura. A=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Calcule a área da figura a seguir (suponha que as medidas nos eixos estão em metros):

Provavelmente é de novo evidente à primeira vista que uma só fórmula não nos bastará e que teremos de modificar a figura de alguma maneira. Vamos calcular assim: calculamos a área daquele “quadrado”, somamos a ela três quartos da área do círculo e subtraímos aquele pequeno triângulo, embaixo à esquerda:

Calculamos facilmente a área do quadrado: A₁ = 2 · 2 = 4 m². No segundo passo calculamos a área do círculo. De novo apenas substituímos na fórmula e calculamos A₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Resta apenas calcular a área do triângulo DEI e subtraí-la da área do quadrado. O lado EI e a sua altura DI têm o mesmo comprimento, 1 m, então a área do triângulo será A₃ = ½.

No último passo somamos e subtraímos os resultados parciais: A = A₁ + A₂ − A₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².