Aires et volumes

Commençons par un peu de théorie, très brièvement, au cas où quelqu’un ne la connaîtrait pas. Le périmètre d’une figure est la somme des longueurs de tous ses côtés ; il s’exprime en mètres et en unités dérivées. On note généralement le périmètre par la lettre 𝒫. L’aire d’une figure est la mesure de la surface qu’elle occupe ; elle se calcule en mètres carrés, et mathématiquement le mètre carré s’écrit avec un 2 en exposant : m². On note couramment l’aire par la lettre 𝒜. Le volume est l’espace qu’occupe un solide ; pour faire simple, il exprime la quantité d’eau qu’on peut y verser. Le volume se calcule en mètres cubes et en unités dérivées, et les mesures de l’espace s’écrivent avec un 3 en exposant : m³. On note couramment le volume par la lettre V. L’aire et le volume peuvent aussi s’exprimer dans d’autres unités (sans doute plus utilisées dans la vie courante), comme l’are ou l’hectare pour l’aire et le litre pour le volume. L’aire ou le volume se calculent en général à l’aide des intégrales.

Carré et rectangle

Ces deux figures sont planes, on n’y trouve donc que le périmètre et l’aire. Pour le carré, tout est très simple, car par définition ses côtés ont tous la même longueur. Pour calculer le périmètre du carré, il suffit donc de prendre un côté et de le multiplier par quatre (le nombre de côtés) : 𝒫=4a. Le périmètre du rectangle est à peine plus compliqué. Un rectangle a toujours deux paires de côtés de même longueur, ce qui offre deux possibilités : soit additionner simplement tous les côtés, soit prendre les longueurs de deux côtés différents, les multiplier par deux et les additionner : 𝒫=2a+2b.

L’aire du carré n’est pas plus compliquée que son périmètre. Tu prends un côté et tu le multiplies par l’autre côté. Comme tous les côtés du carré ont la même longueur, on obtient la formule : 𝒜 = a·a = a². Le rectangle fonctionne exactement comme le carré, à ceci près que ses côtés n’ont pas tous la même longueur, et que tu dois donc multiplier deux côtés différents, perpendiculaires entre eux : 𝒜=a·b.

Parallélogramme

Le parallélogramme est une figure proche du rectangle, mais dont deux côtés opposés sont penchés, voir la figure sous ce paragraphe. Le périmètre du parallélogramme est simple et, pour l’essentiel, identique à celui du rectangle : 𝒫=2a+2b ; en revanche, l’aire est un peu plus intéressante. Pour calculer l’aire du parallélogramme, nous devons le transformer en rectangle, sinon ce n’est pas possible. La figure suivante nous montre comment le transformer en rectangle :

On commence par découper la partie qui dépasse du parallélogramme (la partie colorée) et on la recolle de l’autre côté du parallélogramme, ce qui donne un rectangle :

Ce n’est qu’à présent que nous pouvons facilement calculer l’aire du parallélogramme : la formule sera la même que pour le rectangle. Cependant, cette transformation graphique n’est pas pratique ; on utilise donc une formule simple qui découle justement de cette transformation. Le côté a est en effet identique pour le rectangle et pour le parallélogramme, seul l’autre côté diffère. Pour le parallélogramme, au lieu du côté b, on calcule donc avec la hauteur du parallélogramme, qui est égale au côté b du rectangle obtenu. La figure suivante le montre clairement (on multiplie les côtés mis en évidence en rouge) :

La formule s’écrit : 𝒜=h_a·a.

Trapèze

Pour le périmètre, c’est clair, on additionne tous les côtés. L’aire du trapèze est un peu plus délicate. En théorie, nous pourrions procéder comme pour le parallélogramme, mais nous ne savons pas s’il faut prendre le côté le plus long (AB) ou le plus court (CD).

On utilise donc une astuce : on calcule la longueur moyenne de ces deux côtés parallèles et on calcule avec elle. On additionne donc les longueurs des côtés AB et CD, on divise par deux, puis on calcule comme pour le parallélogramme : on multiplie encore par la hauteur, et on obtient l’aire. 𝒜=(a+c)/2 · h_a.

Triangle

Le triangle est une figure plane ; on peut donc y calculer le périmètre et l’aire, mais il n’a pas de volume. Le périmètre du triangle se calcule en additionnant tous ses côtés. La formule générale s’écrit donc : 𝒫=a+b+c. Bien sûr, il existe des cas particuliers : il est évident, par exemple, qu’un triangle équilatéral a tous ses côtés de même longueur, et qu’il suffit donc de connaître la longueur d’un côté et de la multiplier par trois. La formule s’écrit alors : 𝒫=3a.

Pour l’aire du triangle, il nous faut une petite transformation. Pour pouvoir calculer l’aire d’un triangle, nous devons en faire un parallélogramme (comme nous avons fait d’un parallélogramme un rectangle). La petite image suivante nous montre à nouveau comment faire :

Cette figure montre déjà comment calculer l’aire du triangle : on procède comme pour l’aire d’un parallélogramme, mais on divise le résultat par deux : 𝒜=(h_c·c)/2

Disque

Le disque est une figure particulière : ni son périmètre ni son aire ne peuvent s’écrire exactement sous forme décimale. Quoi que nous voulions calculer avec un disque, nous ne pouvons presque jamais nous passer de la constante pi – π. Le développement décimal de π est infini, c’est un nombre irrationnel, mais sa valeur approchée, que l’on utilise d’ordinaire (si tu n’as pas sa valeur en mémoire dans ta calculatrice), est 3,14.

Passons maintenant aux formules. Déjà les penseurs de l’Antiquité cherchaient comment calculer le périmètre du cercle, c’est-à-dire du disque (le cercle n’est que la ligne, la courbe, il n’a pas d’intérieur et donc pas d’aire, alors que le disque a une aire, puisqu’on y compte aussi l’intérieur du cercle). On a constaté que le rapport entre le périmètre du cercle et son diamètre (que l’on peut facilement mesurer) est toujours le même, et avec le temps on a même calculé combien de fois le périmètre est plus grand que le diamètre. Et, ô surprise, c’est justement pi fois. Le périmètre du cercle se calcule donc ainsi : 𝒫=π·d=2·π·r (on donne plus souvent la seconde formule, plus compliquée, car on connaît en général plutôt le rayon que le diamètre), où d est le diamètre et r le rayon du disque.

L’aire du disque est alors 𝒜=π·r² ; je ne sais pas quoi dire de plus là-dessus :-)

Cube et pavé droit

Ce sont les premiers solides ; nous allons donc y déterminer l’aire totale et le volume. Comme le cube a six faces et que toutes sont des carrés, la marche à suivre est claire : on calcule l’aire d’une face et on la multiplie par six. 𝒜=6a². Pour le pavé droit, c’est plus long, car il a plusieurs faces différentes. En gros, il suffit de calculer l’aire de trois faces différentes, de les additionner et de multiplier par deux, et on obtient l’aire totale du pavé droit : 𝒜=(a·b + b·c + a·c)·2.

Le volume du cube se calcule exactement comme l’aire du carré, avec cette petite différence qu’il ne faut pas oublier que nous sommes dans l’espace. Il suffit de prendre la longueur du côté et de l’élever à la puissance trois : V=a³. Pour le pavé droit, c’est semblable, sauf qu’il faut multiplier séparément les trois dimensions, car elles sont différentes : V=a·b·c.

Boule

L’aire de la sphère (la surface de la boule) se calcule par 𝒜=4·π·r² et le volume de la boule est V=4/3·π·r³. Si tu veux lire la démonstration assez complexe du volume de la boule, jette un œil au principe de Cavalieri.

Cylindre

L’aire totale du cylindre se calcule comme la somme des aires des deux bases et de l’aire latérale. La base est un disque ordinaire ; l’aire d’une base est donc égale à l’aire du disque, c’est-à-dire que l’aire d’une base se calcule ainsi :

$${\mathcal{A}}_b=\pi \cdot r^2$$

La surface latérale du cylindre n’est rien d’autre qu’un rectangle « enroulé », dont un côté a pour longueur la hauteur du cylindre (que nous notons h) et l’autre est égal au périmètre du cercle de la base. L’aire latérale est donc égale à :

$${\mathcal{A}}_l=h\cdot 2\pi r$$

L’aire totale du cylindre entier est donc égale à :

$$\mathcal{A}=2\cdot {\mathcal{A}}_b+{\mathcal{A}}_l=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

Le volume du cylindre est plus simple : c’est la hauteur multipliée par l’aire de la base. Nous avons déjà calculé l’aire de la base à l’étape précédente. Résultat :

$$V=h\cdot \pi r^2$$

Pyramide et cône

L’aire totale d’une pyramide se calcule en général comme la somme de l’aire de la base et des aires de toutes les faces. Il n’existe pas vraiment de formule générale pour cela. Le volume d’une pyramide a quelque chose en commun avec le calcul de l’aire du triangle : on prend l’aire de la base et on la multiplie par la hauteur de la pyramide. On divise ensuite le résultat par trois, et on obtient le volume de la pyramide. V=(𝒜_b · h)/3, où 𝒜_b est l’aire de la base.

L’aire totale d’un cône de révolution est égale à la somme de l’aire de la base et de l’aire latérale. L’aire de la base est évidente, c’est un simple disque, donc 𝒜=π·r². L’aire latérale est un peu plus compliquée : il faut imaginer que l’on « déroule » la surface latérale sur la table, ce qui donne un secteur circulaire dont l’aire est égale à : 𝒜=π·r·s, où s est le rayon de ce secteur, c’est-à-dire la génératrice du cône (la distance entre le sommet du cône et le bord de la base ; c’est en gros l’équivalent de l’arête latérale d’une pyramide). Le volume du cône est V=(π · r² · h)/3, où h est la hauteur du cône.

Exemples de calcul d’aires

Calcule l’aire de la figure suivante (on suppose que les mesures sur l’axe sont en mètres) :

Au premier coup d’œil, on constate que cette figure est un polygone quelconque, auquel nous ne pouvons appliquer aucune formule dans son ensemble. Nous devons donc le découper en parties plus petites, que nous savons déjà calculer. Le plus simple est de faire un triangle de la partie inférieure et un trapèze de la partie supérieure. La figure suivante montre ce découpage :

Calculons maintenant l’aire du triangle ABE avec la formule 𝒜=(a · h_a)/2. Le côté a sera ici le côté AE, et la hauteur correspondante sera le segment EB. Nous voyons que AE=3 m et EB=1 m. En remplaçant dans la formule, nous obtenons : 𝒜=(3 · 1)/2=1,5 m².

Dans la deuxième étape, nous calculons l’aire du trapèze avec la formule 𝒜=(a+c)/2 · h_a. Le côté a sera ici le côté AE et le côté c le côté DC. La hauteur se lit à nouveau facilement sur la figure : c’est la longueur du segment EC. En remplaçant dans la formule, nous obtenons : 𝒜=(3+2)/2 · 2=5 m².

Il suffit d’additionner ces deux résultats partiels pour obtenir l’aire de la figure. 𝒜=1,5 m² + 5 m² = 6,5 m².

Calcule l’aire de la figure suivante (on suppose que les mesures sur l’axe sont en mètres) :

Il est à nouveau assez visible qu’une seule formule ne suffira pas et qu’il faudra transformer la figure d’une manière ou d’une autre. Nous allons procéder ainsi : calculer l’aire de ce « carré », y ajouter les trois quarts de l’aire d’un disque et retirer ce petit triangle en bas à gauche :

L’aire du carré se calcule simplement : 𝒜₁ = 2 · 2 = 4 m². Dans la deuxième étape, nous calculons l’aire du disque. Il suffit à nouveau de remplacer dans la formule : 𝒜₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Il ne reste plus qu’à calculer l’aire du triangle DEI et à la retrancher de celle du carré. Le côté EI et sa hauteur DI ont la même longueur 1 m, donc l’aire du triangle sera 𝒜₃ = ½.

Dans la dernière étape, nous additionnons et soustrayons les résultats partiels : 𝒜 = 𝒜₁ + 𝒜₂ − 𝒜₃ = 3,5 m² + 3π/4 m².