Kalkylator: sannolikheten att något inträffar minst en gång

Tänk dig att du åker spårvagn utan biljett och att en biljettkontrollant kontrollerar dig med sannolikheten 5 % på varje resa. På en enskild resa är det nästan säkert att du klarar dig. Men på en månad blir det tjugo resor. Hur stor är chansen att du åker fast minst en gång? Det går inte att lägga ihop procenten, för med tjugo resor skulle det bli 100 % och med trettio till och med 150 %. Vi räknar i stället med komplementhändelsen: vi beräknar sannolikheten att kontrollanten inte dyker upp en enda gång och drar bort det från ett.

Försöken måste vara oberoende av varandra och hela tiden ha samma sannolikhet p.

Hur många försök behövs?

Frågan går att vända på: hur många gånger måste du åka utan biljett för att kontrollanten nästan säkert ska ta dig, säg med sannolikheten 90 %?

Så beräknas det

Sannolikheten att en händelse inträffar minst en gång på n försök är

$$P=1-(1-p{)}^n$$

För antalet försök söker vi det minsta n för vilket 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, där c är den önskade sannolikheten. Vi tar logaritmen av båda leden och får

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Resultatet avrundar vi uppåt, eftersom antalet försök måste vara ett heltal.

Kontrollanten dyker inte upp på en enskild resa med sannolikheten 1 − 0,05 = 0,95. Resorna är oberoende, så för tjugo resor utan kontroll multiplicerar vi sannolikheterna:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Vi drar bort det från ett:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

På tjugo resor åker du alltså fast minst en gång med sannolikheten ungefär 64,15 %. Och hur många resor räcker för 90 %? Vi sätter in:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Vi avrundar uppåt till 45 resor. Med så många resor åker du fast med sannolikheten ungefär 90,06 %. Det blir billigare att köpa biljett.