Sannsynlighet for minst én gang – kalkulator

Tenk deg at du reiser svart på trikken, og at det på hver tur er 5 % sjanse for at en billettkontrollør kommer innom. På én enkelt tur er det nesten sikkert at du slipper unna. Men på en måned blir det tjue turer. Hvor stor er sjansen for at du blir tatt minst én gang? Prosentene kan ikke bare legges sammen: med tjue turer ville det blitt 100 %, og med tretti turer hele 150 %. Vi regner i stedet med den komplementære hendelsen: vi regner ut sannsynligheten for at kontrolløren aldri kommer, og trekker den fra én.

Forsøkene må være uavhengige av hverandre og hele tiden ha den samme sannsynligheten p.

Hvor mange forsøk trenger du?

Spørsmålet kan snus: hvor mange ganger må du reise svart for at kontrolløren nesten helt sikkert tar deg, la oss si med sannsynlighet 90 %?

Slik regner vi det ut

Sannsynligheten for at en hendelse inntreffer minst én gang i løpet av n forsøk, er

$$P=1-(1-p{)}^n$$

For antall forsøk leter vi etter det minste n som oppfyller 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, der c er den sannsynligheten vi ønsker. Vi tar logaritmen på begge sider og får

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Resultatet runder vi opp, siden antall forsøk må være et helt tall.

På én tur kommer ikke kontrolløren med sannsynlighet 1 − 0,05 = 0,95. Turene er uavhengige, så for tjue turer uten kontroll ganger vi sannsynlighetene:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Vi trekker dette fra én:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

På tjue turer blir du tatt minst én gang med en sannsynlighet på omtrent 64,15 %. Og hvor mange turer trengs for 90 %? Vi setter inn:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Vi runder opp til 45 turer. På så mange turer tar kontrolløren deg med en sannsynlighet på omtrent 90,06 %. Det blir billigere å kjøpe billett.