Kans op minstens één keer – rekenmachine

Stel je voor dat je zwartrijdt in de tram en dat je bij elke rit met een kans van 5% door een controleur wordt gecontroleerd. Op één rit is de kans groot dat je ongezien blijft. Maar in een maand maak je twintig ritten. Hoe groot is de kans dat je minstens één keer wordt betrapt? Procenten optellen kan niet: bij twintig ritten zou je 100% krijgen en bij dertig zelfs 150%. De berekening loopt via de complementaire gebeurtenis: we berekenen de kans dat de controleur geen enkele keer komt en trekken die af van 1.

De pogingen moeten onafhankelijk van elkaar zijn en steeds dezelfde kans p hebben.

Hoeveel pogingen heb je nodig?

Je kunt de vraag omdraaien: hoe vaak moet je zwartrijden om bijna zeker te worden betrapt, zeg met een kans van 90%?

Hoe de berekening werkt

De kans dat een gebeurtenis bij n pogingen minstens één keer optreedt, is

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Voor het aantal pogingen zoeken we de kleinste n waarvoor geldt 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, waarbij c de gewenste kans is. We nemen aan beide kanten de logaritme en vinden

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Het resultaat ronden we naar boven af, want het aantal pogingen moet een geheel getal zijn.

De controleur komt bij één rit niet langs met kans 1 − 0,05 = 0,95. De ritten zijn onafhankelijk, dus voor twintig ritten zonder controle vermenigvuldigen we de kansen:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

We trekken af van 1:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

Bij twintig ritten word je met een kans van ongeveer 64,15% minstens één keer betrapt. En hoeveel ritten zijn genoeg voor 90%? We vullen in:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

We ronden naar boven af op 45 ritten. Bij zoveel ritten word je met een kans van ongeveer 90,06% betrapt. Een kaartje is dan goedkoper.