Calculadora de probabilidad de que ocurra al menos una vez

Imagina que viajas en tranvía sin billete y que en cada trayecto te controla un inspector con probabilidad del 5 %. En un trayecto es casi seguro que pasarás sin problema. Pero en un mes acumulas veinte trayectos. ¿Cuál es la probabilidad de que te pille al menos una vez? Las probabilidades no se suman: con veinte trayectos saldría 100 % y con treinta incluso 150 %. Se calcula mediante el suceso contrario: calculamos la probabilidad de que el inspector no aparezca ni una vez y se la restamos a uno.

Los ensayos deben ser independientes entre sí y tener siempre la misma probabilidad p.

¿Cuántos ensayos necesitas?

Se puede preguntar también al revés: ¿cuántos trayectos sin billete hacen falta para que el inspector te pille casi seguro, digamos con probabilidad del 90 %?

Cómo se calcula

La probabilidad de que ocurra al menos una vez en n ensayos es

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Para el número de ensayos buscamos el menor n que cumpla 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, donde c es la probabilidad pedida. Tomamos logaritmos en la ecuación y sale

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Redondeamos hacia arriba, porque el número de ensayos tiene que ser entero.

En un trayecto el inspector no te controla con probabilidad 1 − 0,05 = 0,95. Los trayectos son independientes, así que para veinte trayectos sin control multiplicamos:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Lo restamos de uno:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

Con veinte trayectos te pilla al menos una vez con probabilidad de unos 64,15 %. ¿Y cuántos trayectos bastan para el 90 %? Sustituimos:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Redondeamos hacia arriba a 45 trayectos. Con ellos te pilla con probabilidad de unos 90,06 %. Sale más barato comprar el billete.