Kalkulačka: pravděpodobnost, že to nastane aspoň jednou

Představte si, že jezdíte tramvají načerno a na každé jízdě vás zkontroluje revizor s pravděpodobností 5 %. Na jedné jízdě je to skoro jisté, že projde. Jenže za měsíc nasbíráte dvacet jízd. Jaká je šance, že vás aspoň jednou chytí? Sčítat procenta nejde, při dvaceti jízdách by vyšlo 100 % a při třiceti dokonce 150 %. Počítá se přes doplňkový jev: spočítáme, že revizor nepřijde ani jednou, a odečteme to od jedničky.

Pokusy musí být na sobě nezávislé a mít pořád stejnou pravděpodobnost p.

Kolik pokusů potřebujete?

Otázku jde obrátit: kolikrát musíte jet načerno, aby vás revizor chytil skoro jistě, řekněme s pravděpodobností 90 %?

Jak se to počítá

Pravděpodobnost, že jev nastane aspoň jednou z n pokusů, je

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Pro počet pokusů hledáme nejmenší n, pro které platí 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, kde c je požadovaná pravděpodobnost. Rovnici zlogaritmujeme a vyjde

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Výsledek zaokrouhlíme nahoru, protože pokusů musí být celý počet.

Revizor na jedné jízdě nepřijde s pravděpodobností 1 − 0,05 = 0,95. Jízdy jsou nezávislé, takže pro dvacet jízd bez kontroly pravděpodobnosti vynásobíme:

$$0,{95}^{20}\doteq \mathrm{0,358}5$$

Odečteme od jedničky:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

Za dvacet jízd vás revizor chytí aspoň jednou s pravděpodobností asi 64,15 %. A kolik jízd stačí na 90 %? Dosadíme:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\doteq 44,89$$

Zaokrouhlíme nahoru na 45 jízd. Při nich vás revizor chytí s pravděpodobností asi 90,06 %. Jízdenka vyjde levněji.