Todennäköisyys vähintään yhdelle onnistumiselle – laskuri

Kuvittele, että matkustat ratikalla ilman lippua ja lipuntarkastaja tarkastaa sinut joka matkalla 5 %:n todennäköisyydellä. Yhdellä matkalla on lähes varmaa, että selviät. Kuukaudessa matkoja kertyy kuitenkin kaksikymmentä. Kuinka todennäköisesti jäät kiinni vähintään kerran? Prosentteja ei voi laskea yhteen, sillä kahdellakymmenellä matkalla tulisi 100 % ja kolmellakymmenellä jo 150 %. Lasketaan vastatapahtuman kautta: lasketaan todennäköisyys, ettei tarkastaja tule kertaakaan, ja vähennetään se ykkösestä.

Yritysten on oltava toisistaan riippumattomia, ja jokaisessa niistä todennäköisyyden on oltava sama p.

Montako yritystä tarvitaan?

Kysymyksen voi kääntää toisinpäin: kuinka monta kertaa pitää matkustaa ilman lippua, jotta jäät tarkastajalle kiinni lähes varmasti, sanotaan 90 %:n todennäköisyydellä?

Näin se lasketaan

Todennäköisyys, että tapahtuma sattuu vähintään kerran n yrityksestä, on

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Yritysten määrää varten etsitään pienin n, jolle pätee 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, missä c on haluttu todennäköisyys. Otetaan yhtälöstä logaritmi, ja tulokseksi saadaan

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Tulos pyöristetään ylöspäin, koska yritysten määrän on oltava kokonaisluku.

Tarkastaja ei tule yhdellä matkalla todennäköisyydellä 1 − 0,05 = 0,95. Matkat ovat toisistaan riippumattomia, joten kahdenkymmenen tarkastamattoman matkan todennäköisyys saadaan kertomalla:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Vähennetään tulos ykkösestä:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

Kahdenkymmenen matkan aikana tarkastaja saa sinut kiinni vähintään kerran noin 64,15 %:n todennäköisyydellä. Entä montako matkaa riittää 90 %:iin? Sijoitetaan:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Pyöristetään ylöspäin 45 matkaan. Silloin tarkastaja saa sinut kiinni noin 90,06 %:n todennäköisyydellä. Lippu tulee halvemmaksi.