Beregner: sandsynligheden for, at noget sker mindst én gang

Forestil dig, at du kører med bussen uden billet, og at en kontrollør tjekker dig på hver tur med en sandsynlighed på 5 %. På én enkelt tur er det næsten sikkert, at du slipper. Men på en måned kommer du op på tyve ture. Hvor stor er chancen for, at du bliver taget mindst én gang? Man kan ikke lægge procenterne sammen, for ved tyve ture ville det give 100 %, og ved tredive endda 150 %. I stedet bruger vi komplementærhændelsen: Vi beregner sandsynligheden for, at kontrolløren slet ikke dukker op, og trækker den fra 1.

Forsøgene skal være uafhængige af hinanden og hele tiden have den samme sandsynlighed p.

Hvor mange forsøg skal der til?

Spørgsmålet kan vendes om: Hvor mange gange skal du køre uden billet, for at kontrolløren næsten med sikkerhed tager dig, lad os sige med en sandsynlighed på 90 %?

Sådan beregnes det

Sandsynligheden for, at en hændelse indtræffer mindst én gang ved n forsøg, er

$$P=1-(1-p{)}^n$$

For at finde antallet af forsøg leder vi efter det mindste n, for hvilket 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, hvor c er den ønskede sandsynlighed. Vi tager logaritmen på begge sider af ulighedstegnet, og det giver

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Resultatet runder vi op, for antallet af forsøg skal være et helt tal.

På én tur slipper du for kontrol med sandsynligheden 1 − 0,05 = 0,95. Turene er uafhængige, så for tyve ture uden kontrol ganger vi sandsynlighederne:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Vi trækker fra 1:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

På tyve ture bliver du taget mindst én gang med en sandsynlighed på omkring 64,15 %. Og hvor mange ture skal der til for at nå op på 90 %? Vi indsætter:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Vi runder op til 45 ture. Ved så mange ture bliver du taget med en sandsynlighed på omkring 90,06 %. En billet er billigere.