Rechner: Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens einmal eintritt

Stell dir vor, du fährst mit der Straßenbahn schwarz, und bei jeder Fahrt kontrolliert dich der Kontrolleur mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 %. Bei einer einzelnen Fahrt ist es fast sicher, dass er dich nicht erwischt. Doch in einem Monat machst du zwanzig Fahrten. Wie groß ist die Chance, dass er dich mindestens einmal erwischt? Prozente zu addieren funktioniert nicht, bei zwanzig Fahrten käme 100 % heraus und bei dreißig sogar 150 %. Man rechnet über das Gegenereignis: Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass der Kontrolleur kein einziges Mal kommt, und ziehen sie von eins ab.

Die Versuche müssen voneinander unabhängig sein und immer die gleiche Wahrscheinlichkeit p haben.

Wie viele Versuche brauchst du?

Die Frage lässt sich umdrehen: Wie oft musst du schwarzfahren, damit dich der Kontrolleur fast sicher erwischt, sagen wir mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %?

So wird es berechnet

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis bei n Versuchen mindestens einmal eintritt, ist

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Für die Anzahl der Versuche suchen wir das kleinste n, für das 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c gilt, wobei c die gewünschte Wahrscheinlichkeit ist. Wir logarithmieren die Gleichung und erhalten

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Das Ergebnis runden wir nach oben auf, denn die Anzahl der Versuche muss eine ganze Zahl sein.

Bei einer einzelnen Fahrt kommt der Kontrolleur mit der Wahrscheinlichkeit 1 − 0,05 = 0,95 nicht. Die Fahrten sind unabhängig, also multiplizieren wir für zwanzig Fahrten ohne Kontrolle die Wahrscheinlichkeiten:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Das ziehen wir von eins ab:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

Bei zwanzig Fahrten erwischt dich der Kontrolleur also mindestens einmal mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 64,15 %. Und wie viele Fahrten reichen für 90 %? Wir setzen ein:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Wir runden auf 45 Fahrten auf. Bei so vielen Fahrten erwischt dich der Kontrolleur mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 90,06 %. Ein Fahrschein ist günstiger.