Calcolatrice: probabilità che accada almeno una volta

Immagina di viaggiare sul tram senza biglietto e che a ogni corsa passi il controllore con probabilità 5%. Su una singola corsa è quasi sicuro che te la cavi. Ma in un mese fai venti corse. Qual è la probabilità che ti becchino almeno una volta? Non si possono sommare le percentuali: con venti corse verrebbe 100%, con trenta addirittura 150%. Si calcola tramite l'evento complementare: calcoliamo la probabilità che il controllore non si presenti nemmeno una volta e la sottraiamo da uno.

Le prove devono essere indipendenti tra loro e avere sempre la stessa probabilità p.

Quante prove ti servono?

Si può anche rovesciare la domanda: quante volte devi viaggiare senza biglietto perché il controllore ti becchi quasi sicuramente, diciamo con probabilità 90%?

Come si calcola

La probabilità che l’evento accada almeno una volta su n prove è

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Per il numero di prove cerchiamo il più piccolo n per cui vale 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, dove c è la probabilità richiesta. Passiamo ai logaritmi e otteniamo

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Arrotondiamo il risultato per eccesso, perché il numero di prove deve essere un intero.

Il controllore su una singola corsa non si presenta con probabilità 1 − 0,05 = 0,95. Le corse sono indipendenti, quindi la probabilità di non essere controllati in venti corse si ottiene moltiplicando:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Sottraiamo da uno:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

In venti corse ti beccano almeno una volta con probabilità circa 64,15%. E quante corse bastano per il 90%? Sostituiamo:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Arrotondiamo per eccesso a 45 corse. Con queste ti beccano con probabilità circa 90,06%. Conviene comprare il biglietto.