Αριθμομηχανή: πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον μία φορά

Φαντάσου ότι ταξιδεύεις με το τραμ χωρίς εισιτήριο και σε κάθε διαδρομή ο ελεγκτής σε ελέγχει με πιθανότητα 5%. Σε μία διαδρομή είναι σχεδόν σίγουρο ότι θα τη γλιτώσεις. Μέσα σε έναν μήνα όμως μαζεύεις είκοσι διαδρομές. Ποια είναι η πιθανότητα να σε πιάσει τουλάχιστον μία φορά; Τα ποσοστά δεν προστίθενται: με είκοσι διαδρομές θα έβγαινε 100% και με τριάντα μάλιστα 150%. Ο υπολογισμός γίνεται μέσω του αντίθετου ενδεχομένου: βρίσκουμε την πιθανότητα ο ελεγκτής να μην εμφανιστεί ούτε μία φορά και την αφαιρούμε από το ένα.

Οι δοκιμές πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και να έχουν πάντα την ίδια πιθανότητα p.

Πόσες δοκιμές χρειάζεσαι;

Το ερώτημα αντιστρέφεται: πόσες φορές πρέπει να ταξιδέψεις χωρίς εισιτήριο, ώστε ο ελεγκτής να σε πιάσει σχεδόν σίγουρα, ας πούμε με πιθανότητα 90%;

Πώς υπολογίζεται

Η πιθανότητα ένα ενδεχόμενο να συμβεί τουλάχιστον μία φορά σε ν δοκιμές είναι

$$P=1-(1-p{)}^{\nu }$$

Για το πλήθος των δοκιμών ψάχνουμε το μικρότερο ν για το οποίο ισχύει 1 − (1 − p)^ν ≥ c, όπου c είναι η ζητούμενη πιθανότητα. Λογαριθμίζουμε την ανίσωση και προκύπτει

$$\nu \ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Το αποτέλεσμα το στρογγυλοποιούμε προς τα πάνω, επειδή το πλήθος των δοκιμών πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός.

Σε μία διαδρομή ο ελεγκτής δεν εμφανίζεται με πιθανότητα 1 − 0,05 = 0,95. Οι διαδρομές είναι ανεξάρτητες, οπότε για είκοσι διαδρομές χωρίς έλεγχο πολλαπλασιάζουμε τις πιθανότητες:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Αφαιρούμε από το ένα:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

Σε είκοσι διαδρομές ο ελεγκτής θα σε πιάσει τουλάχιστον μία φορά με πιθανότητα περίπου 64,15%. Και πόσες διαδρομές αρκούν για 90%; Αντικαθιστούμε:

$$\nu \ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Στρογγυλοποιούμε προς τα πάνω σε 45 διαδρομές. Σε αυτές ο ελεγκτής θα σε πιάσει με πιθανότητα περίπου 90,06%. Το εισιτήριο βγαίνει φθηνότερο.