Hesap Makinesi: En Az Bir Kez Olma Olasılığı

Diyelim ki tramvaya biletsiz biniyorsun ve her yolculukta kontrolöre yakalanma olasılığın %5. Tek bir yolculukta yakalanmaman neredeyse kesin. Ama bir ayda yirmi yolculuk birikir. En az bir kez yakalanma olasılığın nedir? Yüzdeleri toplamak olmaz: yirmi yolculukta bu %100, otuz yolculukta %150 eder. Bunun yerine tümleyen olay üzerinden hesaplarız: kontrolörün bir kez bile gelmeme olasılığını bulur ve bunu birden çıkarırız.

Denemelerin birbirinden bağımsız olması ve her seferinde olasılığın aynı p kalması gerekir.

Kaç Deneme Gerekir?

Soruyu tersine de çevirebiliriz: kontrolörün seni neredeyse kesin, diyelim %90 olasılıkla yakalaması için kaç kez biletsiz binmen gerekir?

Nasıl Hesaplanır

Bir olayın n denemede en az bir kez gerçekleşme olasılığı

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Deneme sayısı için 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c olacak şekilde en küçük n değerini ararız; burada c istenen olasılıktır. Denklemin iki tarafının logaritmasını alırsak şunu elde ederiz:

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Sonucu yukarı yuvarlarız, çünkü deneme sayısı tam sayı olmalıdır.

Kontrolörün bir yolculukta gelmeme olasılığı 1 − 0,05 = 0,95’tir. Yolculuklar bağımsız olduğu için yirmi kontrolsüz yolculuğun olasılıklarını çarparız:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Birden çıkarırız:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

Yirmi yolculukta kontrolörün seni en az bir kez yakalama olasılığı yaklaşık %64,15’tir. Peki %90 için kaç yolculuk yeter? Yerine yazalım:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Yukarı yuvarlayınca 45 yolculuk çıkar. Bu kadar yolculukta seni yakalama olasılığı yaklaşık %90,06’dır. Bilet almak daha ucuza gelir.