Calculator: probabilitatea de a se întâmpla cel puțin o dată

Imaginează-ți că mergi cu tramvaiul fără bilet și, la fiecare călătorie, un controlor te verifică cu probabilitatea de 5%. La o singură călătorie e aproape sigur că scapi. Dar într-o lună strângi douăzeci de călătorii. Care este șansa să fii prins cel puțin o dată? Probabilitățile nu se adună: cu douăzeci de călătorii ar ieși 100%, iar cu treizeci chiar 150%. Se calculează prin evenimentul contrar: aflăm probabilitatea ca controlorul să nu vină niciodată și o scădem din unu.

Încercările trebuie să fie independente unele de altele și să aibă mereu aceeași probabilitate p.

Câte încercări sunt necesare?

Întrebarea se poate și întoarce: de câte ori trebuie să circuli fără bilet ca să fii prins aproape sigur, să zicem cu probabilitatea de 90%?

Cum se calculează

Probabilitatea ca un eveniment să se producă cel puțin o dată din n încercări este

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Pentru numărul de încercări căutăm cel mai mic n pentru care 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, unde c este probabilitatea cerută. Logaritmăm inegalitatea și obținem

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Rezultatul îl rotunjim în sus, pentru că numărul de încercări trebuie să fie un număr întreg.

Controlorul nu vine la o călătorie cu probabilitatea 1 − 0,05 = 0,95. Călătoriile sunt independente, deci pentru douăzeci de călătorii fără control înmulțim:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Scădem din unu:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

Pentru douăzeci de călătorii ești prins cel puțin o dată cu probabilitatea de aproximativ 64,15%. Și câte călătorii sunt suficiente pentru 90%? Înlocuim:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Rotunjim în sus la 45 de călătorii. Cu ele ești prins cu probabilitatea de aproximativ 90,06%. Biletul iese mai ieftin.