Legalább egyszeri bekövetkezés valószínűsége (számológép)

Képzeld el, hogy jegy nélkül utazol a villamoson, és a jegyellenőr minden úton 5%-os valószínűséggel ellenőriz. Egy úton szinte biztos, hogy megúszod. Csakhogy egy hónap alatt húsz utat teszel meg. Mekkora az esély, hogy legalább egyszer elkapnak? A százalékokat nem lehet összeadni: húsz úton 100%, harmincnál pedig akár 150% jönne ki. Ezért a számítás a komplementer eseményen keresztül megy: kiszámoljuk annak valószínűségét, hogy az ellenőr egyszer sem jön, és ezt kivonjuk egyből.

A kísérleteknek egymástól függetleneknek kell lenniük, és az eseménynek mindegyikben ugyanakkora, p valószínűséggel kell bekövetkeznie.

Hány kísérletre van szükség?

A kérdés megfordítható: hányszor kell jegy nélkül utaznod ahhoz, hogy nagy, mondjuk 90%-os valószínűséggel elkapjanak?

A számítás menete

Annak valószínűsége, hogy az esemény n kísérlet közül legalább egyszer bekövetkezik:

$$P=1-(1-p{)}^n$$

A kísérletek számához azt a legkisebb n-et keressük, amelyre 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c teljesül, ahol c a kívánt valószínűség. Az egyenlőtlenség mindkét oldalát logaritmáljuk, és ezt kapjuk:

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Az eredményt felfelé kerekítjük, mert a kísérletek száma csak egész szám lehet.

Egy úton az ellenőr 1 − 0,05 = 0,95 valószínűséggel nem jön. Az utak egymástól függetlenek, ezért ha húsz úton egyszer sem ellenőriznek, a valószínűségeket összeszorozzuk:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Kivonjuk egyből:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

Húsz út után tehát kb. 64,15%-os valószínűséggel legalább egyszer elkapnak. Hány út kell 90%-hoz? Behelyettesítünk:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Felfelé kerekítve 45 út kell. Ennyi út alatt kb. 90,06% valószínűséggel kapnak el. A jegy olcsóbban jön ki.