Prawdopodobieństwo, że coś nastąpi co najmniej raz (kalkulator)

Wyobraź sobie, że jeździsz tramwajem na gapę, a przy każdym przejeździe kontroler sprawdza bilet z prawdopodobieństwem 5%. Na jednym przejeździe prawie na pewno unikniesz kontroli. Ale w ciągu miesiąca zbierasz dwadzieścia przejazdów. Jaka jest szansa, że choć raz cię złapią? Nie można po prostu dodać procentów, bo przy dwudziestu przejazdach wyszłoby 100%, a przy trzydziestu nawet 150%. Liczy się przez zdarzenie przeciwne: obliczamy, że kontroler nie przyjdzie ani razu, i odejmujemy to od jedności.

Próby muszą być od siebie niezależne i cały czas mieć to samo prawdopodobieństwo p.

Ile prób będzie potrzebnych?

Pytanie można odwrócić: ile razy trzeba jeździć na gapę, żeby kontroler złapał prawie na pewno, powiedzmy z prawdopodobieństwem 90%?

Jak to się liczy

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi co najmniej raz w n próbach, wynosi

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Potrzebna liczba prób to najmniejsze n, dla którego zachodzi 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, gdzie c to żądane prawdopodobieństwo. Nierówność logarytmujemy i wychodzi

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Wynik zaokrąglamy w górę, bo liczba prób musi być całkowita.

Kontroler na jednym przejeździe nie przyjdzie z prawdopodobieństwem 1 − 0,05 = 0,95. Przejazdy są niezależne, więc dla dwudziestu przejazdów bez kontroli mnożymy prawdopodobieństwa:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Odejmujemy od jedności:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

Po dwudziestu przejazdach kontroler złapie cię co najmniej raz z prawdopodobieństwem około 64,15%. A ile przejazdów wystarczy na 90%? Podstawiamy:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Zaokrąglamy w górę do 45 przejazdów. Przy nich kontroler złapie cię z prawdopodobieństwem około 90,06%. Bilet wyjdzie taniej.