Calculatrice : probabilité qu’un événement se produise au moins une fois

Imagine que tu prennes le tram sans billet et qu’à chaque trajet, un contrôleur te contrôle avec une probabilité de 5 %. Sur un seul trajet, tu passeras presque à coup sûr. Mais en un mois, tu fais vingt trajets. Quelles sont les chances de te faire prendre au moins une fois ? On ne peut pas additionner les pourcentages : avec vingt trajets, on obtiendrait 100 %, et avec trente, même 150 %. On passe par l’événement contraire : on calcule la probabilité que le contrôleur ne passe pas une seule fois, puis on la retranche de 1.

Les essais doivent être indépendants les uns des autres et garder toujours la même probabilité p.

Combien d’essais faut-il ?

On peut aussi poser la question à l’envers : combien de trajets sans billet faut-il pour que le contrôleur te prenne presque à coup sûr, disons avec une probabilité de 90 % ?

Comment on calcule

La probabilité qu’un événement se produise au moins une fois sur n essais est

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Pour le nombre d’essais, on cherche le plus petit n tel que 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, où c est la probabilité voulue. En prenant le logarithme de l’équation, on obtient

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

On arrondit le résultat par excès, car le nombre d’essais doit être un entier.

Sur un trajet, la probabilité que le contrôleur ne passe pas est de 1 − 0,05 = 0,95. Les trajets étant indépendants, pour vingt trajets sans contrôle, on multiplie les probabilités :

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

On retranche de 1 :

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

Sur vingt trajets, le contrôleur te prend au moins une fois avec une probabilité d’environ 64,15 %. Et combien de trajets suffisent pour 90 % ? On remplace :

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

On arrondit par excès à 45 trajets. Avec ce nombre, le contrôleur te prend avec une probabilité d’environ 90,06 %. Acheter un billet revient moins cher.