Калкулатор за вероятност нещо да се случи поне веднъж

Представи си, че пътуваш с трамвая без билет и при всяко пътуване те проверява контрольор с вероятност 5%. При едно пътуване е почти сигурно, че ще ти се размине. Но за месец се натрупват двайсет пътувания. Каква е вероятността поне веднъж да те хванат? Процентите не могат просто да се събират: при двайсет пътувания би излязло 100%, а при трийсет дори 150%. Пресмята се чрез противоположното събитие: намираме вероятността контрольорът да не се появи нито веднъж и я изваждаме от единицата.

Опитите трябва да са независими един от друг и да имат все една и съща вероятност p.

Колко опита са нужни?

Въпросът може да се обърне: колко пъти трябва да пътуваш без билет, за да те хване контрольорът почти сигурно, да речем с вероятност 90%?

Как се изчислява

Вероятността събитието да настъпи поне веднъж при n опита е

$$P=1-(1-p{)}^n$$

За броя на опитите търсим най-малкото n, за което 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, където c е търсената вероятност. Логаритмуваме неравенството и получаваме

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Резултатът закръгляваме нагоре, защото опитите са цял брой.

Контрольорът не се появява при едно пътуване с вероятност 1 − 0,05 = 0,95. Пътуванията са независими, затова за двайсет пътувания без проверка вероятностите се умножават:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Изваждаме от единицата:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

За двайсет пътувания контрольорът те хваща поне веднъж с вероятност около 64,15%. А колко пътувания са достатъчни за 90%? Заместваме:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Закръгляваме нагоре до 45 пътувания. При тях контрольорът те хваща с вероятност около 90,06%. Билетът излиза по-евтино.