Калькулятор: ймовірність, що станеться хоча б раз

Уяви, що їздиш у трамваї без квитка, а на кожній поїздці контролер перевіряє з імовірністю 5 %. За одну поїздку тебе майже напевно не перевірять. Але за місяць набереться двадцять поїздок. Який шанс, що тебе хоча б раз зловлять? Відсотки додавати не можна: за двадцять поїздок вийшло б 100 %, а за тридцять навіть 150 %. Рахують через протилежну подію: обчислюємо, що контролер не з'явиться жодного разу, і віднімаємо це від одиниці.

Спроби мають бути незалежними одна від одної і весь час мати однакову ймовірність p.

Скільки спроб потрібно?

Питання можна обернути: скільки разів треба проїхатися без квитка, щоб контролер зловив майже напевно, скажімо з ймовірністю 90 %?

Як це обчислюється

Ймовірність, що подія станеться хоча б раз із n спроб, дорівнює

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Для кількості спроб шукаємо найменше n, для якого виконується 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, де c — потрібна ймовірність. Рівняння логарифмуємо, і виходить

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Результат округлюємо вгору, бо спроб має бути ціла кількість.

Контролер на одній поїздці не з'явиться з ймовірністю 1 − 0,05 = 0,95. Поїздки незалежні, тож для двадцяти поїздок ймовірність, що жодного разу не перевірять, множимо:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Віднімемо від одиниці:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

За двадцять поїздок контролер тебе хоча б раз зловить з ймовірністю близько 64,15 %. А скільки поїздок потрібно для 90 %? Підставимо:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Округлюємо вгору до 45 поїздок. За них контролер зловить тебе з ймовірністю близько 90,06 %. Квиток обійдеться дешевше.