Calculadora de probabilidade de ocorrer pelo menos uma vez

Imagine que você anda de ônibus sem pagar a passagem e que, em cada viagem, um fiscal confere os passageiros com probabilidade de 5%. Em uma viagem é quase certo que você passa sem problemas. Só que em um mês você faz vinte viagens. Qual é a chance de ser pego pelo menos uma vez? Somar as porcentagens não funciona: com vinte viagens daria 100% e com trinta, 150%. O cálculo é feito pelo evento complementar: calculamos a probabilidade de o fiscal não aparecer nenhuma vez e subtraímos o resultado de 1.

As tentativas precisam ser independentes entre si e ter sempre a mesma probabilidade p.

Quantas tentativas são necessárias?

Dá para inverter a pergunta: quantas vezes você precisaria viajar sem pagar para que o fiscal o pegasse quase com certeza, digamos com probabilidade de 90%?

Como se calcula

A probabilidade de um evento ocorrer pelo menos uma vez em n tentativas é

$$P=1-(1-p{)}^n$$

Para o número de tentativas, procuramos o menor n para o qual vale 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c, em que c é a probabilidade desejada. Aplicando o logaritmo na equação, obtemos

$$n\ge \frac{\ln (1-c)}{\ln (1-p)}$$

Arredondamos o resultado para cima, porque o número de tentativas precisa ser inteiro.

Em uma viagem, o fiscal não aparece com probabilidade 1 − 0,05 = 0,95. As viagens são independentes, então, para vinte viagens sem fiscalização, multiplicamos as probabilidades:

$$0,{95}^{20}\approx \mathrm{0,358}5$$

Subtraímos esse resultado de 1:

$$P=1-\mathrm{0,358}5=\mathrm{0,641}5$$

Em vinte viagens, o fiscal pega você pelo menos uma vez com probabilidade de cerca de 64,15%. E quantas viagens bastam para chegar a 90%? Substituímos:

$$n\ge \frac{\ln (1-0,9)}{\ln (1-0,05)}=\frac{\ln 0,1}{\ln 0,95}\approx 44,89$$

Arredondamos para cima: 45 viagens. Com elas, o fiscal pega você com probabilidade de cerca de 90,06%. A passagem sai mais barata.