A kör

A kör a sík azon pontjainak halmaza, amelyek egy adott ponttól, a kör középpontjától ugyanakkora távolságra vannak. A kör a kúpszeletek közé is tartozik.

A kör leírása

Nézd meg a kör ábráját:

A kört általában kis k vagy l betűvel jelöljük.

• Minden körnek van középpontja, jelölése O.
• A kör minden pontjának ugyanakkora a távolsága az O középponttól, ezt a kör sugarának nevezzük, és r-rel jelöljük. Az ábrán ez az AO szakasz.
• Azt a szakaszt, amely a kör két különböző pontját köti össze, húrnak nevezzük. Az ábrán az FG szakasz.
• Azt a húrt, amely átmegy az O középponton, a kör átmérőjének nevezzük, és d-vel jelöljük. Tehát 2r = d.

Beszélünk továbbá a kör belső és külső tartományáról. A belső tartomány azoknak a pontoknak a halmaza, amelyeknek a középponttól mért távolsága kisebb a kör sugaránál. A külső tartomány az összes olyan pont, amelynek a középponttól mért távolsága nagyobb a sugárnál. Ha a kört és a kör belső tartományát egyesítjük, körlapot kapunk.

Kerület és terület

Milyen összefüggés van a kör átmérője és kerülete között? Hányszor nagyobb a kör kerülete az átmérőjénél? Ha veszel egy körlapot, és megpróbálod megmérni az átmérőjét, majd a kerületét, azt találod, hogy körülbelül háromszor. Pontosabban 3,1415-ször, és még pontosabban π-szer.

A π számot (olvasd: pí) Ludolf-féle számnak nevezzük. Ez irracionális szám, vagyis olyan szám, amelynek tizedes tört alakja végtelen és nem szakaszos. Ha tehát a kör átmérője egy rögzített egész szám, a kerületét sosem tudod teljesen pontosan meghatározni. A gyakorlati életben azonban bőven elég valamilyen közelítő értéket ismerni.

A kör kerületének képlete így néz ki:

$$K=d\pi =2r\pi$$

A körlap területének képlete:

$$T=r^2\pi$$

Két kör kölcsönös helyzete

• A koncentrikus körök középpontja közös, O. Nem koncentrikus körök azok a körök, amelyeknek nincs közös középpontjuk. A középpontjaikat összekötő szakaszt centrálisnak nevezzük.

• A k₁ kör a k₂ kör külső tartományában van, a köröknek nincs közös pontjuk.

• A k₁ kör a k₂ kör külső tartományában van, de egy pontban érintik egymást.

• A körök két pontban metszik egymást.

• A k₁ kör a k₂ kör belső tartományában van, és egy pontban érintik egymást.

• A k₁ kör a k₂ kör belső tartományában van.

Körívek

Minden húr, amelynek végpontjai A és B, két részre osztja a kört, ezeket körívnek nevezzük. A kör minden pontja – az A és a B kivételével – az egyik körív belső pontja. A körívet például AXB-vel jelöljük, ahol X a körív belső pontja.

Ha a húr egyúttal átmérő is, a kört két egybevágó körívre osztja, amelyeket félköröknek nevezünk. Ellenkező esetben a kör mindig két különböző nagyságú körívre oszlik.

Középponti szög

Legyen adott a k kör O középponttal és az AB körív. Ekkor az AOB szöget az AB körívhez tartozó középponti szögnek nevezzük. A kisebbik körív fölött konvex középponti szög van (a szög kisebb, mint 180°), a nagyobbik körív fölött nem konvex szög (több mint 180°).

Az ábrán látható körön két AB körív van megjelölve. A nagyobbik körívhez az α szög tartozik, a kisebbikhez a β.

Kerületi szög

Legyen adott a k kör O középponttal és az AB körív. Válasszunk továbbá egy V pontot, amely nem tartozik ehhez a körívhez, de rajta van a körön. Ekkor az AVB szöget kerületi szögnek nevezzük.

Az ábrán két kerületi szög van, AV₁B és AV₂B. Figyeld meg, hogy mindkettő ugyanakkora – 60° –, és hogy ez a nagyság fele a középponti szögnek – 120°.