Cirkel

Een cirkel is de verzameling van alle punten in het vlak die dezelfde afstand hebben tot een gegeven punt, het middelpunt van de cirkel. De cirkel hoort ook bij de kegelsneden.

Beschrijving van de cirkel

Bekijk de afbeelding van een cirkel:

Een cirkel noteren we meestal met een kleine letter k of l.

• Elke cirkel heeft een middelpunt, dat noteren we met M.
• Alle punten van de cirkel hebben dezelfde afstand tot het middelpunt M, die heet de straal van de cirkel en die noteren we met r. In de afbeelding is dat lijnstuk AM.
• Een lijnstuk dat twee verschillende punten van de cirkel verbindt, heet een koorde. In de afbeelding is dat lijnstuk FG.
• Een koorde die door het middelpunt M gaat, heet de diameter van de cirkel (of middellijn) en die noteren we met d. Er geldt 2r = d.

Verder spreken we van het binnengebied en het buitengebied van de cirkel. Het binnengebied is de verzameling van alle punten waarvan de afstand tot het middelpunt kleiner is dan de straal van de cirkel. Het buitengebied zijn alle punten waarvan de afstand tot het middelpunt groter is dan de straal. Als we de cirkel en het binnengebied van de cirkel samenvoegen, krijgen we een cirkelschijf.

Omtrek en oppervlakte

Wat is het verband tussen de diameter van een cirkel en de omtrek van een cirkel? Hoeveel keer is de omtrek van een cirkel groter dan zijn diameter? Als je een cirkelschijf neemt en probeert zijn diameter en daarna zijn omtrek te meten, zul je merken dat het ongeveer drie keer is. Nauwkeuriger 3,1415 keer en nog nauwkeuriger π keer.

Het getal π (we lezen: pi) wordt ook het getal van Ludolph genoemd. Het is een irrationaal getal, dus een getal met een oneindige decimale ontwikkeling zonder periode. Als je dus een vaste diameter van een cirkel hebt, bijvoorbeeld een geheel getal, kun je de omtrek nooit helemaal exact bepalen. In het dagelijks leven is het echter ruim voldoende om een benaderde waarde te kennen.

De formule voor de omtrek van een cirkel ziet er zo uit:

$$O=\pi d=2\pi r$$

De formule voor de oppervlakte van een cirkelschijf:

$$\text{opp.}=\pi r^2$$

Onderlinge standen van twee cirkels

• Concentrische cirkels hebben een gemeenschappelijk middelpunt M. Niet-concentrische cirkels zijn cirkels die geen gemeenschappelijk middelpunt hebben. Het lijnstuk dat hun middelpunten verbindt, noemen we het verbindingslijnstuk van de middelpunten.

• Cirkel k₁ ligt in het buitengebied van k₂, de cirkels hebben geen enkel punt gemeen.

• Cirkel k₁ ligt in het buitengebied van k₂, maar ze raken elkaar in één punt.

• De cirkels snijden elkaar in twee punten.

• Cirkel k₁ ligt in het binnengebied van k₂ en ze raken elkaar in één punt.

• Cirkel k₁ ligt in het binnengebied van k₂.

Bogen

Elke koorde met eindpunten A en B verdeelt de cirkel in twee delen die bogen heten. Elk punt op de cirkel, behalve de punten A en B, is dan een binnenpunt van een van de bogen. Een boog noteren we bijvoorbeeld als AXB, waarbij X een binnenpunt van de boog is.

Als de koorde tegelijk een diameter is, verdeelt hij de cirkel in twee congruente bogen, die we halve cirkels noemen. In het andere geval wordt de cirkel altijd in twee verschillend grote bogen verdeeld.

Middelpuntshoek

Neem een cirkel k met middelpunt M en een boog AB. Dan noemen we hoek AMB de middelpuntshoek op boog AB. Op de kleinere boog hoort een convexe middelpuntshoek (de hoek is kleiner dan 180°), op de grotere boog een niet-convexe hoek (groter dan 180°).

In de cirkel in de afbeelding zijn twee bogen AB aangegeven. Bij de grotere boog hoort hoek α, bij de kleinere β.

Omtrekshoek

Neem een cirkel k met middelpunt M en een boog AB. Kies verder een punt V dat niet op deze boog ligt, maar wel op de cirkel. Dan heet hoek AVB een omtrekshoek.

In de afbeelding staan twee omtrekshoeken, AV₁B en AV₂B. Let erop dat ze allebei even groot zijn — 60° — en dat deze grootte de helft is van die van de middelpuntshoek — 120°.